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傅立叶变换是信号处理中的核心数学工具。它基于一个重要思想：任何复杂的信号都可以分解为不同频率的正弦波的叠加。图中展示了三个不同频率的正弦波如何组合成一个复杂的信号。傅立叶变换的作用就是反向分析，从复杂信号中找出构成它的各个频率成分。
信号可以用两种不同的方式来描述。时间域表示信号随时间的变化，我们看到的是信号的波形。而频率域则显示信号包含哪些频率成分以及每个频率的强度。傅立叶变换就是连接这两个域的桥梁，它能将时间域的复杂波形转换为频率域的简洁表示，让我们清楚地看到信号的频率构成。
傅立叶变换的数学公式看起来复杂，但其核心思想很直观。连续傅立叶变换将时间函数f(t)转换为频率函数F(ω)。公式中的复指数e^{-iωt}是关键，它等于cos(ωt)减去i倍的sin(ωt)。通过与不同频率的复指数相乘并积分，我们可以提取出信号在各个频率上的成分。逆变换则完成相反的过程，将频率域信息还原为时间域信号。
让我们通过方波信号来看傅立叶变换的实际应用。方波看似简单，但它的频谱却包含无穷多个频率成分。根据傅立叶级数，方波可以表示为所有奇次谐波的叠加。随着我们增加更多的谐波成分，时间域的波形越来越接近理想的方波。频率域显示了各个谐波的幅度，基频最强，高次谐波逐渐减弱。这个例子完美展示了傅立叶变换如何揭示信号的频率结构。
傅立叶变换在现代科技中有着极其广泛的应用。在音频处理中，它用于降噪和音效处理；在图像处理中，实现压缩和增强；在通信系统中，完成信号的调制解调；在医学成像中，CT和MRI扫描都依赖傅立叶变换重建图像。从量子力学到工程控制，傅立叶变换无处不在。它不仅是一个数学工具，更是连接时间域和频率域的桥梁，帮助我们理解和处理复杂的信号与系统。