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今天我们来探讨平面直角坐标系中的一个经典格点问题。问题是：求满足不等式 |x| + |y| ≤ n 的格点数量。格点是指横纵坐标都是整数的点。这个不等式表示的区域是一个菱形，我们需要计算这个菱形内部和边界上的所有格点数量。
我们采用分层计算的方法来解决这个问题。按照 |x| + |y| 的值 k 进行分层，从 k = 0 开始逐层计算。当 k = 0 时，只有原点满足条件，共 1 个格点。当 k = 1 时，有 4 个格点。当 k = 2 时，有 8 个格点。一般地，当 k 大于 0 时，满足 |x| + |y| = k 的格点数为 4k 个。
现在我们来推导公式。总的格点数等于从 k=0 到 n 的所有层的格点数之和。即 1 加上 4 乘以 1 加上 4 乘以 2，一直到 4 乘以 n。这可以写成 1 加上 4 倍的 1 到 n 的和。利用等差数列求和公式，1 到 n 的和等于 n(n+1)/2。因此总数等于 1 加上 2n(n+1)，展开后得到 2n² + 2n + 1。
现在让我们验证公式的正确性。当 n=1 时，公式给出 2×1² + 2×1 + 1 = 5，实际计算确实有 5 个格点。当 n=2 时，公式给出 13，实际计算也是 13 个格点。当 n=3 时，公式给出 25，实际计算同样是 25 个格点。这证明了我们的公式是正确的。
总结一下，我们成功解决了平面直角坐标系中的格点计数问题。满足不等式 |x| + |y| ≤ n 的格点数量为 2n² + 2n + 1。解题的关键是采用分层计算的方法，按照 |x| + |y| = k 进行分层，然后利用等差数列求和公式得到最终结果。这种方法可以推广到更高维度的空间，是组合几何中的重要技巧。