设m为正整数，数列a_{1},a_{2},\cdots,a_{4m + 2}是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_{i}和a_{j}(i\lt j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a_{1},a_{2},\cdots,a_{4m + 2}是(i,j)-可分数列。 第（1）问 写出所有(i,j)，1\leq i\lt j\leq6，使数列a_{1},a_{2},\cdots,a_{6}是(i,j)-可分数列。 第（2）问 当m\geq3时，证明：数列a_{1},a_{2},\cdots,a_{4m + 2}是(2,13)-可分数列。 第（3）问 从1,2,\cdots,4m + 2中一次任取两个数i和j(i\lt j)，记数列a_{1},a_{2},\cdots,a_{4m + 2}是(i,j)-可分数列的概率为P_{m}，证明：P_{m}\gt\frac{1}{8}。

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我们来研究等差数列的一个特殊性质。给定一个有4m+2项的等差数列，如果删去两项后，剩余的4m项能够平均分为m组，且每组的4个数都构成等差数列，我们就称原数列是(i,j)-可分数列。这是一个关于数列分组的有趣问题。 我们先分析第一问，当m等于1时的情况。此时数列有6项，删去两项后剩余4项需要构成一个等差数列。我们需要逐一检验所有可能的(i,j)对。例如删去a₁和a₆，剩余a₂,a₃,a₄,a₅，它们的公差都是d，确实构成等差数列，所以(1,6)是可分的。 通过系统性的验证，我们发现当m等于1时，满足条件的(i,j)对共有三个：(1,6)、(2,5)和(3,4)。对于(1,6)，删去首尾两项后中间四项公差为d；对于(2,5)，剩余项的公差为2d；对于(3,4)，删去中间两项后需要特殊验证。这就是第一问的完整答案。 现在我们证明第二问。当m大于等于3时，需要证明数列是(2,13)-可分的。关键思路是删去第2项和第13项后，将剩余的4m项按照特定规律分组。我们可以构造一个分组方案，使得每组的4个数都保持原等差数列的公差关系，从而满足可分条件。 最后我们分析第三问的概率下界证明。需要证明随机选择两个位置删除时，数列是可分的概率大于八分之一。证明的关键是找出所有满足可分条件的(i,j)对，利用等差数列的对称性和周期性质，构造足够多的可分模式，从而建立概率的下界估计。这个问题展现了组合数学与概率论的巧妙结合。