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我们来解析这道三角函数综合题的第一部分。题目要求函数 f(x) = 5cos x - cos 5x 在区间 [0, π/4] 的最大值。首先求导数：f'(x) = -5sin x + 5sin 5x = 5(sin 5x - sin x)。令导数为零，得到 sin 5x = sin x。在给定区间内，驻点为 x = π/6。计算关键点的函数值：f(0) = 4，f(π/6) = 3√3，f(π/4) = 3√2。比较可得最大值为 3√3。
第二部分要证明在任意区间 [a-θ, a+θ] 内，总存在一点使得余弦值不超过 cos θ。我们分两种情况讨论。当区间长度 2θ 大于等于 π 时，区间足够长，必然包含余弦函数的最小值点，此时 cos y = -1 ≤ cos θ 成立。当区间长度小于 π 时，我们用反证法：假设区间内所有点的余弦值都大于 cos θ，这将导致矛盾，因为余弦函数在对称区间内的最小值恰好是 cos θ。
第三部分是一个最值优化问题。我们需要找到 b 的最小值，使得对某个 φ，不等式 5cos x - cos(5x + φ) ≤ b 对所有 x 恒成立。这等价于求 min_φ max_x f(x,φ) 的值。通过分析特殊点的函数值，我们发现当 cos φ = (15-5√5)/8 时，函数在 x=0 和 x=π/5 处同时达到最大值。利用线性规划的思想，最终得到 b 的最小值为 (25+5√5)/8。
让我们回顾一下关键的计算步骤。第一部分中，通过求导得到 f'(x) = 5(sin 5x - sin x)，令其为零找到驻点 x = π/6，计算得 f(π/6) = 3√3，约等于 5.196，这是第一部分的最大值。第三部分是最复杂的优化问题，通过分析特殊点的函数值，发现当 cos φ = (15-5√5)/8 时能使最大值最小化，最终得到 b 的最小值为 (25+5√5)/8，约等于 4.528。这些计算体现了三角函数、导数和优化理论的综合应用。
我们完成了这道三角函数综合题的详细解答。第一部分通过导数法求得函数 f(x) = 5cos x - cos 5x 在区间 [0, π/4] 的最大值为 3√3。第二部分用分类讨论和反证法证明了存在性命题。第三部分是最具挑战性的参数最值问题，通过转化为 min-max 优化问题，最终求得 b 的最小值为 (25+5√5)/8。这道题综合考查了导数应用、三角函数性质、存在性证明和优化理论，体现了数学各分支知识的有机结合。