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今天我们要证明一个重要的矩阵理论结果：每个方阵都可以写成4个正交矩阵的线性组合。这个定理告诉我们，任意的n阶实方阵A，都可以表示为4个正交矩阵的线性组合形式。正交矩阵是满足Q转置乘以Q等于单位矩阵的特殊矩阵。我们将通过构造性证明来展示这一结果。
证明的基本思路是将任意矩阵A分解为对称部分和反对称部分。对于任意矩阵A，我们可以写成A等于S加K的形式，其中S是对称矩阵，等于A加A转置除以2；K是反对称矩阵，等于A减A转置除以2。这种分解是唯一的，且对称矩阵满足S转置等于S，反对称矩阵满足K转置等于负K。通过这种分解，我们可以分别处理对称和反对称矩阵的正交矩阵表示。
现在我们处理对称矩阵的正交矩阵表示。根据对称矩阵表示定理，任意2×2对称矩阵都可以表示为两个正交矩阵的线性组合。具体来说，对称矩阵S可以写成α倍单位矩阵I加上β倍Pauli矩阵σ₁的形式。单位矩阵和Pauli矩阵都是正交矩阵。对于我们的例子，对称矩阵S可以分解为5/2倍单位矩阵加上3倍σ₁矩阵。这样我们就用两个正交矩阵表示了对称部分。
接下来处理反对称矩阵的正交矩阵表示。反对称矩阵表示定理告诉我们，任意2×2反对称矩阵都可以表示为两个正交矩阵的线性组合。我们使用Pauli矩阵σ₂和σ₃作为基础。由于我们处理实矩阵，我们使用实数版本的Pauli矩阵。对于我们的例子，反对称矩阵K可以简单地表示为2倍实Pauli矩阵σ₂。这样我们就完成了反对称部分的正交矩阵表示。
现在我们完成了完整的证明。将对称部分和反对称部分的结果合并，我们得到矩阵A可以表示为4个正交矩阵的线性组合：A等于5/2倍单位矩阵，加上3倍σ₁，加上0倍σ₃，加上2倍σ̃₂。这4个矩阵都是正交矩阵，系数分别是5/2、3、0、2。这样我们就证明了每个2×2方阵都可以写成4个正交矩阵的线性组合。对于一般的n×n矩阵，需要n²个正交矩阵。这个结果在量子力学和信号处理等领域有重要应用。证毕。