求图片题解---设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$. (1) 证明: $\{na_n\}$ 为等差数列; (2) 设 $f(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m$, 求 $f'(-2)$.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

这是一道关于数列递推关系的综合题目。给定数列 aₙ 满足初始条件 a₁ 等于 3，以及递推关系式。我们需要证明数列 naₙ 是等差数列，并求出函数 f 在 x 等于负 2 处的导数值。让我们先分析这个递推关系的结构特点。 现在我们来证明数列 naₙ 是等差数列。首先，我们对给定的递推关系进行变形。将递推关系两边同时乘以 n 乘以 n 加 1，得到 n 加 1 倍的 aₙ₊₁ 等于 n 倍的 aₙ 加 1。移项整理后，得到 n 加 1 倍的 aₙ₊₁ 减去 n 倍的 aₙ 等于 1。如果我们设 bₙ 等于 n 倍的 aₙ，那么上式就变成 bₙ₊₁ 减去 bₙ 等于 1，这说明数列 bₙ 也就是 naₙ 是公差为 1 的等差数列。 现在我们来求等差数列 naₙ 的通项公式。由于我们已经证明了 naₙ 是等差数列，我们需要确定它的首项和公差。首项 b₁ 等于 1 倍的 a₁，也就是 3。公差 d 等于 1。根据等差数列的通项公式，bₙ 等于首项加上 n 减 1 倍的公差，即 naₙ 等于 3 加上 n 减 1，化简得到 naₙ 等于 n 加 2。因此，aₙ 等于 n 加 2 除以 n。我们可以验证：当 n 等于 1 时，a₁ 等于 3，与题目条件一致。 现在我们来解决第二部分，求 f 在 x 等于负 2 处的导数值。首先写出函数 f 的表达式，它是关于 x 的 m 次多项式。对 f 求导，得到 f 的导数等于各项系数乘以对应的幂次。我们可以将导数写成求和形式。将 x 等于负 2 代入导数表达式，得到 f'(-2) 等于求和。利用前面得到的结果 naₙ 等于 n 加 2，我们可以将求和式展开为两部分的和。 现在我们计算两个求和式的值。第一个求和是等比数列求和，首项为1，公比为负2，结果为 1 减去负2的m次方，再除以3。第二个求和通过求导方法得到结果。将两部分代入原式，经过通分和化简，最终得到 f'(-2) 等于 7 减去 3m 加 7 倍的负2的m次方，再除以9。这就是我们的最终答案。