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矩阵的四个基本子空间是线性代数的核心概念。对于任意矩阵A，我们可以定义四个重要的子空间：列空间、零空间、行空间和左零空间。这些空间不仅揭示了矩阵的内在结构，还为理解线性方程组的解提供了重要工具。
列空间是矩阵所有列向量的线性组合构成的空间，它描述了矩阵变换的输出范围。零空间包含所有使得矩阵乘积为零的向量，它反映了矩阵变换的核。对于这个二乘二矩阵，列空间的维数是1，零空间的维数也是1，它们的维数之和等于矩阵的列数。
行空间是矩阵转置的列空间，由矩阵的行向量张成。左零空间是矩阵转置的零空间，包含所有与矩阵A左乘为零的向量。注意左零空间N(A^T)等价于A^T y = 0的解空间。这个概念在理解线性方程组的相容性条件时非常重要。
四个基本子空间之间存在重要的正交关系。行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。这意味着整个空间可以分解为这些正交子空间的直和。这些关系不仅在理论上重要，在实际应用中也为解决线性方程组和优化问题提供了重要工具。
四个基本子空间在实际应用中发挥着重要作用。在求解线性方程组时，方程有解当且仅当右端向量位于列空间中，这等价于左零空间中的所有向量与右端向量正交。通解由特解加上零空间中的向量构成。在最小二乘问题中，这些空间的概念帮助我们理解解的结构和误差的性质。