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感知机是机器学习中最基础的线性分类算法之一。它通过学习一个超平面来将不同类别的数据点分开。感知机有三种主要的数学表示形式：原始形式、对偶形式和加入正则化项的形式。每种形式都有其独特的特点和应用场景。
原始形式感知机是最基本的线性分类器。决策函数为f(x)等于sign(w转置乘以x加b)，其中w是权重向量，b是偏置项。当分类错误时，权重更新规则为w等于w加学习率乘以真实标签乘以输入向量，偏置更新为b等于b加学习率乘以真实标签。这种形式直观易懂，是理解感知机算法的基础。
对偶形式感知机将权重向量表示为训练样本的线性组合。权重w等于所有训练样本的加权和，其中alpha_i是拉格朗日乘数。决策函数变为所有支持向量与输入向量内积的加权和。当分类错误时，只需更新对应的alpha_i。这种形式的优势在于可以引入核函数，处理非线性可分问题。
正则化感知机在原始损失函数基础上加入了L2正则化项。损失函数包含分类损失和权重的二范数惩罚项，其中lambda是正则化参数。权重更新规则变为w等于w加学习率乘以梯度减去正则化项的梯度。这种形式能够防止过拟合，提高模型在新数据上的泛化性能。
总结一下，感知机的三种形式各有特点。原始形式直观易懂，参数更新简单，适用于线性可分问题。对偶形式支持核方法，能够处理非线性问题，但计算复杂度与样本数相关。正则化形式通过加入惩罚项防止过拟合，提高模型的泛化能力和稳定性。在实际应用中，我们可以根据数据特点和问题需求选择最合适的感知机形式。