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牛顿-莱布尼茨公式是微积分中最重要的定理之一。它告诉我们，定积分可以通过原函数在积分区间端点的差值来计算。图中蓝色区域表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，这个面积值等于原函数F在点b的值减去在点a的值。
为了理解牛顿-莱布尼茨公式，我们引入面积函数A(x)的概念。A(x)表示从固定点a到变量点x之间，曲线f(t)与t轴围成的累积面积。当x从a开始移动时，蓝色区域的面积A(x)随之变化。当x等于a时面积为零，当x移动到b时，A(b)就是我们要计算的定积分值。
现在我们来理解面积函数A(x)的变化率。当x增加一个微小量Δx时，面积增加了ΔA，这个增加的面积近似等于一个矩形的面积，其宽度是Δx，高度是f(x)。因此ΔA约等于f(x)乘以Δx。当我们计算变化率ΔA除以Δx时，得到f(x)。取极限后，我们发现面积函数的导数A'(x)等于f(x)。