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函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质。奇偶性描述了函数图像的对称性：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。周期性描述了函数值重复出现的规律。让我们通过具体例子来理解这些概念。
奇函数的定义是f(-x)等于负f(x)。奇函数的图像关于原点对称。判定一个函数是否为奇函数需要三个步骤：首先检查定义域是否关于原点对称，然后计算f(-x)，最后验证f(-x)是否等于负f(x)。以f(x)等于x的三次方为例，我们可以看到对于任意点(x,y)，都存在对应的点(-x,-y)，体现了关于原点的对称性。
偶函数的定义是f(-x)等于f(x)。偶函数的图像关于y轴对称。判定偶函数的步骤与奇函数类似，但验证的是f(-x)是否等于f(x)。以f(x)等于x平方加0.5为例，我们可以看到对于任意点(x,y)，都存在对应的点(-x,y)，它们的y坐标相同，体现了关于y轴的对称性。黄色线表示对称轴，紫色虚线连接对称点。
函数的周期性是指存在正数T，使得f(x+T)等于f(x)对所有x都成立。最常见的周期函数是三角函数。正弦函数和余弦函数的周期都是2π，这意味着函数值每隔2π就重复一次。正切函数的周期是π。从图像可以看出，正弦和余弦函数的形状在每个2π区间内完全相同，体现了周期性的特征。绿色虚线标出了一个完整的周期。
函数的奇偶性和周期性在数学中有重要应用，可以简化计算、求解方程和分析函数性质。判定时要记住关键要点：定义域必须关于原点对称，奇函数满足f(-x)等于负f(x)，偶函数满足f(-x)等于f(x)，周期函数满足f(x+T)等于f(x)。正弦函数既是奇函数又是周期函数，余弦函数既是偶函数又是周期函数，而二次函数是偶函数但不是周期函数。掌握这些性质有助于深入理解函数的本质特征。