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将军饮马问题是几何学中一个著名的最短路径问题。问题的背景是：一位将军要从营地A出发，先到河边饮马，然后到达目的地B。我们需要在河边找到一个最佳的饮马点P，使得总路程AP加PB最短。这个问题看似简单，但蕴含着深刻的数学原理。
解决将军饮马问题的关键是运用反射原理。首先，我们将点A关于河流直线L做对称变换，得到对称点A撇。然后连接A撇和点B，这条直线与河流的交点就是最优的饮马点P。为什么这样做呢？因为根据对称的性质，河流上任意一点到A的距离都等于它到A撇的距离，所以AP加PB的最短值就等于A撇B的直线距离。
现在我们来分析一个具体的试题。题目给出点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(5, 4)，x轴作为河流。我们需要在x轴上找到一点P，使得AP加PB最小。按照解题步骤，首先确定反射直线是x轴，方程为y等于0。然后求点A关于x轴的对称点A撇。根据对称规律，点(x, y)关于x轴的对称点是(x, 负y)，所以A撇的坐标为(1, 负2)。
接下来我们完成具体的计算过程。首先求直线A撇B的方程，使用两点式公式，将A撇(1, 负2)和B(5, 4)代入，化简后得到3x减2y减7等于0。然后求点P的坐标，将y等于0代入直线方程，解得x等于七分之三，所以P点坐标为(七分之三, 0)。最后计算最小距离，即A撇到B的直线距离，使用距离公式得到2倍根号13。因此，当P点坐标为(七分之三, 0)时，AP加PB的值最小，最小值为2倍根号13。
通过这个具体例题，我们掌握了将军饮马问题的完整解法。解题的关键步骤包括：识别问题类型，选择合适的点进行反射，利用对称性质转化问题，最后应用两点间直线最短的原理。这种方法不仅适用于数学几何问题，在实际生活中也有广泛应用，比如光的反射定律、台球运动轨迹、工程路径优化等。将军饮马问题体现了数学中化繁为简、转化思想的重要性。