视频字幕
函数的连续性是数学分析中的基本概念。直观地理解，如果一个函数在某一点连续，那么它的图像在该点没有断开，可以一笔画过。比如这个二次函数，在整个定义域上都是连续的。
函数连续性有严格的数学定义。函数f(x)在点x₀处连续，需要同时满足三个条件：第一，函数在该点有定义，即f(x₀)存在；第二，函数在该点的极限存在；第三，极限值等于函数值。这三个条件缺一不可。
函数的间断性是连续性的否定。函数在某点间断有几种情况：函数在该点无定义、极限不存在、或者极限存在但不等于函数值。常见的间断点类型包括跳跃间断、可去间断和无穷间断。图中展示的是跳跃间断的例子，左右极限都存在但不相等。
聚点是针对集合而言的重要概念。点x₀是集合S的聚点，当且仅当x₀的任何邻域内都包含集合S中异于x₀的点。简单说，聚点是集合中的点可以无限靠近的点。在讨论函数极限时，通常要求x₀是定义域的聚点，这样才能保证x可以从无穷多个方向趋近于x₀。
总结一下这三个重要概念：连续性描述函数图像不断开的性质，间断性是连续性的否定，而聚点是定义函数极限的基础概念。这些概念在数学分析中密切相关，是微积分基本定理、中间值定理等重要定理的基础，在函数性质分析中有广泛应用。