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同学们好！今天我们来一起解析一道三角形的经典题目。这道题有两个小问，第一问涉及等差数列和正弦函数的关系，第二问涉及等比数列和余弦函数的最值。别看题目有点复杂，其实掌握了正弦定理和余弦定理，再加上一些数列知识，就能轻松搞定！让我们开始吧！
现在我们来分析第一问。题目告诉我们a、b、c成等差数列，这个条件非常重要！等差数列的核心性质是中间项等于两端项的平均数，也就是a加c等于2b。我们要证明的是一个关于角的正弦函数的等式。这时候就需要用到我们的法宝——正弦定理！正弦定理能够巧妙地连接三角形的边和角，这正是解决这类问题的关键工具。
现在我们来完成第一问的证明。首先，利用正弦定理，我们可以把边a、b、c用角的正弦函数表示出来。然后将等差数列的条件a加c等于2b代入，得到关于正弦函数的等式。约去公因子2R后，我们得到sin A加sin C等于2倍sin B。接下来是关键一步：利用三角形内角和等于π的性质，我们知道A加C等于π减B。根据诱导公式，sin(π减B)等于sin B。这样我们就成功证明了要求的等式！
现在我们来解决第二问。题目告诉我们a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质，中间项的平方等于两端项的乘积，即b的平方等于ac。我们要求cos B的最小值，这时候就要请出余弦定理了！根据余弦定理，cos B等于a平方加c平方减b平方，再除以2ac。将等比数列的条件代入，我们得到一个只含有a和c的表达式。通过巧妙的变形，我们可以利用均值不等式来求出最小值。
现在我们利用均值不等式来求最小值。对于正数，它们的算术平均数大于等于几何平均数。应用到我们的表达式，a除以2c加上c除以2a大于等于1，当且仅当a等于c时等号成立。这时三角形变成等边三角形，角B等于60度。因此cos B大于等于二分之一。所以cos B的最小值就是二分之一！这道题完美地结合了数列、三角函数和不等式的知识，是不是很有趣呢？