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三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与边长之间的关系。它最初来源于对直角三角形的研究。在直角三角形中，我们有角θ、对边b、邻边a和斜边c。三角函数在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，正切函数定义为对边除以邻边。这三个函数是最基础的三角函数，其他三角函数都可以由它们推导出来。
单位圆是理解三角函数的重要工具。它是半径为1、圆心在原点的圆。对于任意角θ，角的终边与单位圆的交点坐标为(cosθ, sinθ)。这样，三角函数就有了几何意义：余弦值是点的横坐标，正弦值是点的纵坐标。
三角函数的图像展现了它们的重要性质。正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π，函数值在负1到正1之间变化。正弦函数从原点开始，呈现波浪形；余弦函数从1开始，形状相似但相位不同。这些周期性特征使三角函数在描述振动、波动等周期现象时非常有用。
三角函数有许多重要的恒等式，其中最基本的是勾股恒等式。这些恒等式不仅在数学理论中重要，在实际应用中也发挥着关键作用。三角函数广泛应用于物理学的波动分析、工程学的信号处理、计算机图形学的变换计算，以及天文学的周期运动研究等领域，是现代科学技术的重要数学工具。