平面α过正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的顶点A，而且这个平面α平行于平面CB₁D₁。然后平面α和平面ABCD的交线是m，平面α和平面ABB₁A₁的交线是n。然后问的是m和n所成角的正弦值是多少，选项给了四个可能的答案。---例 1. (2016 · 课标全国 I, 文) 平面 $\alpha$ 过正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的顶点 A, $\alpha // \text{平面} CB_1D_1$, $\alpha \cap \text{平面} ABCD = m$, $\alpha \cap \text{平面} ABB_1A_1 = n$, 则 $m, n$ 所成角的正弦值为( ) A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{1}{3}$

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这是一道关于正方体中平面与交线的立体几何题。我们有正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，平面α过顶点A且平行于平面CB₁D₁。我们需要找到平面α与底面ABCD的交线m，以及与侧面ABB₁A₁的交线n，然后计算这两条交线所成角的正弦值。 为了求解这个问题，我们建立空间直角坐标系。以顶点A为原点，AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AA₁方向为z轴正方向。设正方体的棱长为s，则各顶点的坐标如图所示。这样建立坐标系后，我们就可以用向量方法来求解平面方程和交线。 现在我们求平面CB₁D₁的法向量。取平面上两个向量CB₁和CD₁，通过向量叉积计算法向量。CB₁等于(0,-s,s)，CD₁等于(-s,0,s)，它们的叉积得到法向量(-s²,-s²,-s²)，简化为(1,1,1)。由于平面α平行于平面CB₁D₁且过点A，所以平面α的方程为x+y+z=0。 现在求两条交线。交线m是平面α与底面ABCD的交线，联立方程x+y+z=0和z=0，得到y=-x，这是过点A的直线，方向向量为(1,-1,0)。交线n是平面α与侧面ABB₁A₁的交线，联立方程x+y+z=0和y=0，得到z=-x，这也是过点A的直线，方向向量为(1,0,-1)。 最后计算两条交线的夹角。利用向量夹角公式，先计算两个方向向量的数量积，vm点乘vn等于1。然后计算向量的模长，都等于根号2。因此余弦值等于二分之一，对应60度角。由此可得正弦值等于二分之根号三。所以答案是A选项。