视频字幕
求导函数是微积分中的核心概念。给定一个函数f(x)，它的求导函数f'(x)是一个新的函数，表示原函数在每一点的瞬时变化率。例如，对于函数f(x)等于x的平方，它的求导函数是f'(x)等于2x。几何上，导数表示原函数图像在该点处切线的斜率。
导数的精确定义是通过极限来给出的。f'(x)等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)，再除以h的极限值。几何上，这表示割线斜率在h趋于0时的极限，也就是切线的斜率。这个定义奠定了微积分的理论基础。
掌握基本求导公式是学习导数的关键。常数的导数为0，幂函数x的n次方的导数是n倍x的n-1次方。指数函数e的x次方的导数仍是它本身。自然对数函数ln x的导数是1除以x。正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。这些公式构成了求导的基础工具。
求导有几个重要的法则。和的导数等于导数的和，这是线性性质。积的导数遵循乘积法则：f乘g的导数等于f的导数乘g加上f乘g的导数。商的导数用商法则计算。最重要的是链式法则，用于复合函数求导：外函数的导数乘以内函数的导数。
导数在各个领域都有广泛应用。在数学中，我们用导数求函数的单调性、极值点和最值，分析函数图像的凹凸性。在物理学中，导数表示瞬时速度和加速度。在经济学中，导数用于边际分析，如边际成本和边际收益。在工程中，导数帮助解决优化问题，找到最优设计方案。
导数的精确定义是通过极限来给出的。f'(x)等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)，再除以h的极限值。几何上，这表示割线斜率在h趋于0时的极限，也就是切线的斜率。这个定义奠定了微积分的理论基础。
掌握基本求导公式是学习导数的关键。常数的导数为0，幂函数x的n次方的导数是n倍x的n-1次方。指数函数e的x次方的导数仍是它本身。自然对数函数ln x的导数是1除以x。正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。这些公式构成了求导的基础工具。
求导有几个重要的法则。和的导数等于导数的和，这是线性性质。积的导数遵循乘积法则：f乘g的导数等于f的导数乘g加上f乘g的导数。商的导数用商法则计算。最重要的是链式法则，用于复合函数求导：外函数的导数乘以内函数的导数。
导数在各个领域都有广泛应用。在数学中，我们用导数求函数的单调性、极值点和最值，分析函数图像的凹凸性。在物理学中，导数表示瞬时速度和加速度。在经济学中，导数用于边际分析，如边际成本和边际收益。在工程中，导数帮助解决优化问题，找到最优设计方案。