讲解下这道题---17. 如图, 四棱锥 $P-ABCD$ 中, $PA \perp$ 底面 $ABCD$, $PA=AC=2$, $BC=1$, $AB=\sqrt{3}$. (1) 若 $AD \perp PB$, 证明: $AD \parallel$ 平面 $PBC$; (2) 若 $AD \perp DC$, 且二面角 $A-CP-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$, 求 $AD$. Chart/Diagram Description: The image contains a 3D geometric figure of a pyramid named $P-ABCD$. - The vertices are labeled as P, A, B, C, and D. - P is the apex of the pyramid, and ABCD is the base (a quadrilateral). - Edges shown are PA, PB, PC, PD, AB, BC, CD, DA, AC, and BD. - Solid lines represent visible edges: PA, PB, PC, BC, AB, AC. - Dashed lines represent hidden edges: AD, CD, BD. - PA is depicted as a vertical edge. - The base ABCD is drawn as a quadrilateral in a horizontal plane below P. The diagonal AC is drawn as a solid line, and the diagonal BD is drawn as a dashed line.

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这是一道关于四棱锥的立体几何题。题目给出四棱锥P-ABCD，其中PA垂直于底面ABCD，PA等于AC等于2，BC等于1，AB等于根号3。我们需要解决两个问题：第一个是证明AD平行于平面PBC，第二个是求AD的长度。让我们先观察这个四棱锥的结构。 现在我们来证明第一问：AD平行于平面PBC。首先分析已知条件，由于PA垂直于底面ABCD，所以PA垂直于BC。通过计算可知AB垂直于BC，因为AB等于根号3，BC等于1，AC等于2，满足勾股定理。由于PA和AB都垂直于BC，所以BC垂直于平面PAB，进而BC垂直于PB。结合已知条件AD垂直于PB，由三垂线定理的逆定理可得AD垂直于AB。因此AD平行于BC，而BC在平面PBC内，所以AD平行于平面PBC。 现在我们来解决第二问。为了求解AD的长度，我们建立空间直角坐标系。以A为原点，AB方向为x轴正方向，垂直于底面向上为z轴正方向。根据已知条件，我们可以确定各点坐标：A为原点，P的坐标为(0,0,2)，B的坐标为(根号3,0,0)，C的坐标为(根号3,1,0)。设D点坐标为(x,y,0)，我们需要利用AD垂直于DC的条件以及二面角的正弦值来求解。 现在我们进行具体的计算。首先利用AD垂直于DC的条件，得到向量AD与向量DC的数量积为零，这给出第一个约束方程。接下来计算平面ACP和平面DCP的法向量，利用二面角A-CP-D的正弦值为根号42除以7，可以得到余弦值的绝对值为七分之一。通过法向量的夹角公式，我们可以建立第二个方程。设AD的长度为d，经过复杂的代数运算，最终得到关于d的四次方程：d的四次方减去7d的平方加12等于零。因式分解后得到d的平方等于3或d的平方等于4，即d等于根号3或d等于2。通过几何检验，当d等于2时会导致底面退化，因此AD的长度为根号3。 通过以上分析和计算，我们完成了这道四棱锥几何题的求解。第一问通过几何推理证明了AD平行于平面PBC，关键在于利用垂直关系和三垂线定理。第二问通过建立空间直角坐标系，利用AD垂直于DC的条件以及二面角的正弦值，最终求得AD的长度为根号3。这道题综合考查了立体几何中的线面平行、垂直关系以及二面角的计算，是一道典型的立体几何综合题。