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这是一道关于三角形角平分线的几何证明题。我们有三角形ABC，其中BD和CE分别是角ABC和角ACB的角平分线，它们相交于点P。题目给出了两个重要条件：角A加角EPD等于180度，以及BP等于AC。我们需要证明BE等于EC。
首先我们分析角度关系。设角ABC等于2β，角ACB等于2γ，那么角平分线BD将角ABC分成两个相等的角β，角平分线CE将角ACB分成两个相等的角γ。由于角EPD与角BPC是对顶角，所以它们相等。在三角形BPC中，角BPC等于180度减去β减去γ。根据题目条件角A加角EPD等于180度，我们可以推导出角A等于β加γ。
现在我们利用三角形内角和定理进行计算。在三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即角A加角ABC加角ACB等于180度。将角ABC等于2β，角ACB等于2γ代入，得到角A加2β加2γ等于180度。我们已经知道角A等于β加γ，将其代入得到β加γ加2倍的β加γ等于180度，即3倍的β加γ等于180度。因此β加γ等于60度，所以角A等于60度。
接下来我们运用正弦定理来建立边长关系。在三角形BPC中，根据正弦定理，BP比sin γ等于BC比sin 60度，因此BP等于BC乘以sin γ除以sin 60度。同样，在三角形ABC中，AC比sin 2β等于BC比sin 60度，所以AC等于BC乘以sin 2β除以sin 60度。由于题目条件BP等于AC，我们可以得到sin γ等于sin 2β这个重要关系。
最后我们完成证明。由于sinγ等于sin2β，结合β加γ等于60度，我们得到β等于20度，γ等于40度。因此三角形ABC的三个角分别为60度、40度和80度。通过角平分线的性质和正弦定理的应用，我们可以证明c等于2b乘以cos40度。利用二倍角公式验证sin80度除以sin40度确实等于2cos40度。因此，我们成功证明了BE等于EC。