求图片题解---18. (17 分) 已知椭圆 C: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, 下顶点为 A, 右顶点为 B, $|AB| = \sqrt{10}$. (1) 求 C 的方程; (2) 已知动点 P 不在 y 轴上, 点 R 在射线 AP 上, 且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$. (i) 设 $P(m, n)$, 求 R 的坐标 (用 m, n 表示); (ii) 设 O 为坐标原点, Q 是 C 上的动点, 直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍, 求 $|PQ|$ 的最小值.

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我们来解决这道椭圆方程问题。已知椭圆的离心率为三分之二倍根号二，下顶点为A，右顶点为B，且AB的长度为根号十。我们需要求出椭圆C的方程。首先建立坐标系，椭圆的标准形式为x平方除以a平方加y平方除以b平方等于一，其中a大于b大于零。 根据离心率公式，e等于c除以a，等于三分之二倍根号二。由于c的平方等于a的平方减去b的平方，我们可以得到a的平方减去b的平方除以a的平方等于九分之八。化简后得到b的平方除以a的平方等于九分之一，因此a的平方等于九倍的b的平方。 现在利用距离条件。AB的长度等于根号下a的平方加b的平方，等于根号十。因此a的平方加b的平方等于十。将a的平方等于九倍b的平方代入，得到九倍b的平方加b的平方等于十，即十倍b的平方等于十。解得b的平方等于一，b等于一。进而a的平方等于九，a等于三。因此椭圆C的方程为x的平方除以九加y的平方等于一。 现在解决第二问的第一小题。已知动点P的坐标为(m,n)，且P不在y轴上，点R在射线AP上，满足|AP|乘以|AR|等于3。由于R在射线AP上，向量AR等于λ倍向量AP，其中λ大于0。向量AP等于(m, n+1)，AP的长度为根号下m平方加(n+1)平方。AR的长度等于λ倍AP的长度。由条件得λ等于3除以m平方加(n+1)平方。因此R的坐标为所示公式。 最后求解|PQ|的最小值。根据直线OR的斜率是直线OP斜率的3倍这个条件，经过计算可得点P的轨迹方程为m平方加(n+4)平方等于18，这是一个圆心在(0,-4)、半径为3倍根号2的圆。点Q在椭圆上。要使|PQ|最小，需要通过圆和椭圆的公法线来实现。经过详细计算，|PQ|的最小值为3倍根号3减去3倍根号2。