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对于一元二次方程x²+2x+2m=0，要使其有两个不相等的实数根，判别式必须大于零。方程的系数为a=1，b=2，c=2m。判别式等于b²减4ac，即4减8m。根据题意，需要判别式大于0，即4减8m大于0，解得m小于二分之一。
设x₁和x₂是方程的两个根。根据韦达定理，根的和x₁加x₂等于负2，根的积x₁乘x₂等于2m。已知x₁²加x₂²等于8。利用代数恒等式，x₁²加x₂²等于x₁加x₂的平方减去2倍x₁乘x₂。代入得8等于4减4m，解得m等于负1。
最后需要验证求得的m值是否满足原始条件。我们得到m等于负1，需要检查是否满足m小于二分之一的条件。因为负1确实小于二分之一，所以答案合理。在数轴上可以看到，负1位于二分之一的左侧，满足取值范围要求。
通过二次函数图像可以直观验证我们的答案。当m等于负1时，方程变为x²加2x减2等于0。对应的抛物线开口向上，顶点在负1，负3处，与x轴有两个不同的交点，分别是x₁和x₂。这证实了方程确实有两个不相等的实数根。
总结一下这道题的解答过程。对于一元二次方程x²加2x加2m等于0有两个不相等实数根的问题，第一问通过判别式大于0得到m的取值范围是m小于二分之一。第二问利用韦达定理和代数恒等式，结合条件x₁²加x₂²等于8，求得m等于负1。解题的关键是掌握判别式、韦达定理和代数恒等式的应用。