嘿!各位未来的数学大牛们,大家好!我是你们的老朋友,数学老师!今天咱们不讲枯燥的公式,来点生动有趣的!我们要复习的是一个非常重要的函数家族成员——指数函数!首先,什么是指数函数呢?它的"长相"是这样的:y 等于 a 的 x 次方!是不是很简单?这里的 x 是自变量,它可以是任何实数哦!
哎?等等!这个"底数"a 可不是随便来的,它得满足两个条件:大于0,而且不等于1!这是为啥呢?难道它有什么"小脾气"吗?别急,听我慢慢道来!你想啊,如果 a 小于等于0,比如 -2 的 0.5 次方,这些在实数范围内可能就没意义了,我们研究起来就麻烦啦!所以,为了让 x 能"畅通无阻"地取任何实数,我们规定 a 必须大于0!那如果 a 等于1呢?1 的任何次方都是1!这不就是一条水平线嘛!太平凡了,没啥特别的性质值得我们深入研究,对不对?
搞清楚了定义,咱们来看看指数函数的"长相"!指数函数的图象有两种基本形态,取决于它的底数 a 是大于1,还是在0到1之间。看左边这个图,当底数 a 大于1的时候,比如 y=2的x次方,它的图象就像坐上了"火箭",从左边低低的地方嗖地一下往右上方冲!再看右边这个图,当底数 a 在 0到1之间的时候,比如 y=二分之一的x次方,它的图象就像坐上了"滑梯",从左边高高的地方哧溜一下往右下方滑!注意啦,它们都穿过那个重要的点——(0,1)!
咱们来总结一下指数函数的"性格":定义域,不管 a 是大于1还是在0到1之间,x 都可以取任何实数,所以定义域都是 R!值域,两条曲线都在 x 轴的上方,永远不会碰到 x 轴,所以 y 的取值范围是所有正数,也就是 (0, +∞)!过定点,它们都非常"专一",都过同一个点——(0,1)!这个点非常重要!单调性,当 a>1 时,图象一路向上,所以函数在 R 上是增函数!当 0