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勾股定理是平面几何中最重要的定理之一。它告诉我们，在任意一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和，等于斜边长度的平方。如果我们用a和b表示两条直角边，用c表示斜边，那么勾股定理可以表示为：a的平方加b的平方等于c的平方。
在中国古代，勾股定理被称为"勾股弦定理"。古人把较短的直角边叫做"勾"，较长的直角边叫做"股"，斜边叫做"弦"。在《周髀算经》中记载了著名的"勾三，股四，弦五"的例子。我们可以验证：三的平方加四的平方等于九加十六，等于二十五，正好等于五的平方。
勾股定理有多种几何证明方法，其中最著名的是正方形面积法。我们构造一个边长为a加b的大正方形，它包含一个边长为c的小正方形和四个直角三角形。大正方形的面积等于小正方形面积加上四个三角形面积。通过面积相等的关系，我们可以推导出a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理在实际生活中有广泛的应用。在建筑工程中用于测量垂直度，在导航系统中计算距离，在计算机图形学中处理坐标变换。让我们看一个具体例题：已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边长度。根据勾股定理，c的平方等于6的平方加8的平方，等于36加64等于100，因此c等于10。
勾股定理是几何学的基石，适用于所有直角三角形。它的公式简洁而优美：a的平方加b的平方等于c的平方。这个定理历史悠久，在世界各地都有发现和应用。勾股定理不仅是一个数学定理，更是人类智慧的结晶，体现了数学的美与实用性，连接了代数与几何，为我们理解空间关系提供了重要工具。