El algoritmo de Euclides es uno de los algoritmos más antiguos y fundamentales en matemáticas. Permite encontrar el máximo común divisor de dos números enteros de manera muy eficiente. Por ejemplo, si queremos encontrar el MCD de 48 y 18, el algoritmo nos dará una forma sistemática de calcularlo.
El principio fundamental del algoritmo de Euclides establece que el máximo común divisor de dos números a y b es igual al máximo común divisor de b y el resto de dividir a entre b. Esto se expresa como a igual a b por q más r, donde q es el cociente y r es el resto. Por ejemplo, 48 dividido entre 18 da cociente 2 y resto 12.
Veamos el algoritmo paso a paso con nuestro ejemplo. Primero, dividimos 48 entre 18, obteniendo cociente 2 y resto 12. Luego dividimos 18 entre 12, obteniendo cociente 1 y resto 6. Finalmente, dividimos 12 entre 6, obteniendo cociente 2 y resto 0. Como el resto es cero, el algoritmo termina y el MCD es 6.
El algoritmo de Euclides se puede expresar de forma general como una función recursiva o iterativa. Mientras b sea diferente de cero, calculamos el resto de a dividido entre b, luego actualizamos a con el valor de b, y b con el resto. Cuando b llega a cero, a contiene el máximo común divisor. Este algoritmo es muy eficiente, con complejidad logarítmica.
El algoritmo de Euclides tiene numerosas aplicaciones prácticas. Se usa para simplificar fracciones, en criptografía como el algoritmo RSA, en teoría de números y álgebra computacional. Sus propiedades más importantes son que siempre termina, es muy eficiente y funciona para cualquier par de enteros positivos. En conclusión, el algoritmo de Euclides es uno de los algoritmos más fundamentales en matemáticas y ciencias de la computación.