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无理数是数学中一个重要概念。它们是实数中不能表示为两个整数之比的数。在数轴上，有理数如整数、分数可以精确定位，而无理数如根号2和圆周率π则填补了有理数之间的空隙。
无理数的主要特征是其十进制表示为无限不循环小数。与有理数不同，有理数如三分之一等于零点三三三循环，或二十二分之七等于三点一四二八五七循环。而无理数如根号二和圆周率π的小数部分永远不会重复，是真正的无限不循环小数。
我们可以用反证法证明根号2是无理数。假设根号2等于两个互质整数p除以q。平方两边得到2等于p平方除以q平方，即2q平方等于p平方。这说明p平方是偶数，所以p也是偶数。设p等于2k，代入得q平方等于2k平方，说明q也是偶数。但这与p和q互质矛盾，因此根号2是无理数。
数学中有许多重要的无理数。首先是平方根类，如根号2、根号3、根号5等非完全平方数的平方根都是无理数。其次是超越数类，包括圆周率π和自然对数的底e，以及自然对数ln2等。还有著名的黄金比例φ，等于1加根号5除以2，约等于1.618，在艺术和自然界中广泛存在。
无理数在数学和科学中具有重要意义。在数学方面，无理数完善了实数系统，使几何测量成为可能，并推动了数论研究。在科学应用中，π和e等无理数是重要的物理常数，广泛用于工程计算和计算机科学。实际生活中，圆的周长与直径比、正方形对角线长度、复利计算等都涉及无理数。总之，无理数填补了有理数的空隙，使实数系统完整，在数学和科学中不可或缺。