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勾股定理是几何学中最著名的定理之一。它表明在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。用公式表示就是 a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边。这里我们看到一个经典的 3-4-5 直角三角形的例子。
现在我们来证明勾股定理。我们构造一个边长为 a+b 的大正方形，在其中放置四个相同的直角三角形和一个边长为 c 的小正方形。大正方形的面积等于小正方形面积加上四个三角形的面积。通过展开和化简，我们可以得到 a² + b² = c²。
让我们看一个勾股定理的实际应用。假设有一面12米高的墙，我们需要用梯子爬上去，梯子底部距离墙5米。我们要计算梯子的长度。根据勾股定理，梯子长度的平方等于墙高的平方加上底部距离的平方。计算得出：c² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169，所以 c = 13米。
除了3-4-5这个经典例子，还有许多其他的勾股数组。比如5-12-13，8-15-17，7-24-25等。这些勾股数在建筑、工程和数学中都有重要应用。掌握这些常见的勾股数可以帮助我们快速解决实际问题，而不需要每次都进行复杂的计算。
通过这次学习，我们全面了解了勾股定理。它不仅是一个简单的数学公式 a² + b² = c²，更是连接几何与代数的重要桥梁。从古代的建筑测量到现代的计算机图形学，勾股定理都发挥着重要作用。掌握好勾股定理，将为我们学习更高级的数学知识打下坚实的基础。