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柯西不等式，全称柯西-施瓦茨不等式，是数学中一个基本不等式。它描述了两个向量内积的绝对值与它们各自范数乘积之间的关系。这个不等式在线性代数、函数分析等多个数学分支中都有重要应用。
柯西不等式的实数形式表述为：对于任意实数序列a1到an和b1到bn，它们的乘积和的平方小于等于各自平方和的乘积。也可以写成平方根形式。这里我们用一个简单的二维向量例子来说明：向量a等于3,1，向量b等于2,2，它们的内积为8，而各自的模长分别为根号10和2倍根号2。
柯西不等式的向量形式表述为：两个向量内积的绝对值小于等于它们模长的乘积。几何上，这意味着两向量的内积等于一个向量的模长乘以另一个向量在其方向上的投影长度。当角度变化时，内积值也随之变化，但始终满足柯西不等式的约束。
柯西不等式中等号成立的条件是两个向量线性相关，即一个向量是另一个向量的标量倍数。当k等于1时，两向量相同；当k为负数时，两向量反向平行；当k为0时，其中一个向量为零向量。在所有这些情况下，柯西不等式都取等号。
柯西不等式在数学的许多分支中都有广泛应用。在线性代数中用于向量空间的研究，在函数分析中用于内积空间的理论，在概率论中用于随机变量的分析，在优化理论中用于约束条件的处理，在信号处理中用于信号的分析和滤波。柯西不等式是数学中的基础工具，为理论证明和实际应用提供了重要支撑。