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二次函数求最值范围是数学中的重要问题。对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，最值的存在性和位置主要取决于二次项系数 a 的符号。当 a 大于 0 时，抛物线开口向上，存在最小值；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下，存在最大值。
二次函数的最值出现在顶点处。对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，顶点的横坐标为 x₀ = -b/(2a)，纵坐标为 y₀ = f(x₀)。当 a 大于 0 时，顶点处取得最小值；当 a 小于 0 时，顶点处取得最大值。通过顶点坐标公式，我们可以直接计算出二次函数的最值。
当二次函数的定义域是全体实数时，值域的确定变得简单。对于开口向上的抛物线（a大于0），函数有最小值但无最大值，值域为从最小值到正无穷。对于开口向下的抛物线（a小于0），函数有最大值但无最小值，值域为从负无穷到最大值。最值都在顶点处取得。
当二次函数的定义域是闭区间[m,n]时，求最值需要更仔细的分析。首先计算顶点横坐标x₀，然后判断顶点是否在给定区间内。如果顶点在区间内，需要比较顶点处的函数值与区间端点处的函数值。最大值和最小值必定在这些关键点中产生。通过比较所有候选点的函数值，就能确定在该区间上的最大值和最小值。
让我们通过一个具体例子来巩固理解。对于函数 f(x) = x² - 4x + 3 在区间 [0,3] 上求最值。首先计算顶点横坐标 x₀ = 2，发现顶点在给定区间内。然后计算关键点的函数值：f(0) = 3，f(2) = -1，f(3) = 0。比较这三个值，得出最小值为 -1，最大值为 3。这就是二次函数在闭区间上求最值的完整过程。