以数学老师的身份，解答这个题目---(1) 求函数 f(x) = 5cosx - cos5x 在区间 [0, π/4] 的最大值; (2) 给定 θ ∈ (0, π) 和 a ∈ R, 证明: 存在 y ∈ [a - θ, a + θ], 使得 cos y ≤ cos θ; (3) 设 b ∈ R, 若存在 φ ∈ R 使得 5cosx - cos(5x + φ) ≤ b 对 x ∈ R 恒成立, 求 b 的最小值.

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我们来解决这道三角函数综合题的第一部分。对于函数 f(x) = 5cosx - cos5x 在区间 [0, π/4] 上求最大值，我们需要先求导数，找到临界点，然后比较临界点和端点处的函数值。通过计算可得，函数在 x = π/6 处取得最大值 3√3。 现在我们来证明第二题。对于给定的 θ 属于 (0, π) 和任意实数 a，我们要证明在区间 [a-θ, a+θ] 内必然存在某个 y 值，使得 cos y 小于等于 cos θ。我们使用反证法：假设对于区间内的所有 y 值，都有 cos y 大于 cos θ，这意味着整个长度为 2θ 的闭区间必须包含在某个长度同样为 2θ 的开区间内，这在数学上是不可能的，因此得出矛盾，证明了原命题成立。 第三题要求我们找到 b 的最小值，使得不等式 5cosx - cos(5x + φ) ≤ b 对所有 x 恒成立。这等价于求函数 g(x) = 5cosx - cos(5x + φ) 在所有可能的 φ 值下的最大值的最小值。通过分析函数的临界点，我们发现当 φ 取特定值时，函数的最大值可以降到 4，而且这是可能的最小值。因此 b 的最小值为 4。 让我们回顾一下这道综合题的完整解题过程。第一题通过求导找到临界点，计算各点函数值后确定最大值为3√3。第二题运用反证法，利用区间长度的矛盾性质完成证明。第三题是最复杂的，需要分析函数在不同φ值下的最大值，通过临界点分析最终确定b的最小值为4。这道题综合考查了导数应用、证明技巧和函数最值问题，是三角函数的典型综合应用。 好的，同学们，我们已经完成了这道三角函数综合题的全部解答。第一题通过导数方法求得函数在给定区间的最大值为3√3；第二题运用反证法严格证明了余弦函数的性质；第三题通过深入的函数分析确定了参数b的最小值为4。这道题综合运用了导数、三角函数性质、证明方法和最值理论，是很好的综合练习。希望大家能够掌握这些解题思路和方法。