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三角公式的推导从最基本的直角三角形定义开始。在直角三角形中，我们定义正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边。这些简单的比值关系是所有复杂三角公式推导的起点和基础。
为了处理任意角度，我们将三角函数定义扩展到单位圆。在单位圆上，任意角θ的终边与圆的交点坐标为(cosθ, sinθ)。x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这样的扩展使得三角函数可以处理任意大小的角度，为后续公式推导奠定基础。
利用单位圆的性质可以推导出最基本的三角恒等式。单位圆上任意一点都满足圆的方程x²+y²=1。将点的坐标用三角函数表示，即x=cosθ，y=sinθ，代入圆的方程，就得到了最重要的恒等式：sin²θ+cos²θ=1。这个恒等式是推导其他所有三角公式的基础。
和差角公式是更复杂的三角公式，它们的推导需要借助几何方法或向量运算。以两角和为例，通过在单位圆上构造角α和角β，利用几何关系可以推导出正弦和余弦的和角公式。这些公式是推导倍角公式、半角公式等其他重要公式的基础工具。
三角公式的推导形成了一个完整的体系。从直角三角形的基本定义开始，扩展到单位圆，推导出基本恒等式，再到和差角公式，最后推导出倍角公式、半角公式等复杂公式。这个层层递进的推导过程，展现了数学的逻辑美和系统性，每一步都为下一步奠定基础。