讲解这道题---**Question Stem:** 对于二次函数 y = 2(x + 1)(x - 3)，下列说法正确的是（ ） **Options:** A. 图像的开口向下 B. 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 当 x < 1 时，y 随 x 的增大而减小 D. 图像的对称轴是直线 x = -1

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我们来分析这道关于二次函数的选择题。给定函数 y = 2(x + 1)(x - 3)，我们需要判断哪个选项正确。首先观察这个函数的图像特征。 首先我们将函数展开。y = 2(x + 1)(x - 3) 展开后得到 y = 2x² - 4x - 6。观察二次项系数 a = 2，由于 a 大于 0，所以抛物线开口向上。因此选项A"图像的开口向下"是错误的。 接下来确定对称轴。对于交点式 y = a(x - r₁)(x - r₂)，对称轴是 x = (r₁ + r₂)/2。这里 r₁ = -1，r₂ = 3，所以对称轴是 x = (-1 + 3)/2 = 1。选项D说对称轴是 x = -1，这是错误的。正确的对称轴应该是 x = 1。 现在分析函数的单调性。由于抛物线开口向上，对称轴是 x = 1，所以在对称轴左侧，即 x < 1 时，函数是递减的；在对称轴右侧，即 x > 1 时，函数是递增的。因此选项B"当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小"是错误的，而选项C"当 x < 1 时，y 随 x 的增大而减小"是正确的。 我们来分析这道关于二次函数的题目。给定二次函数 y = 2(x + 1)(x - 3)，需要判断四个选项中哪个是正确的。我们将逐一分析每个选项的正误。 首先，我们需要将二次函数展开为标准形式。将 y = 2(x + 1)(x - 3) 展开，先计算括号内的乘积，得到 x² - 2x - 3，然后乘以 2，最终得到 y = 2x² - 4x - 6。这样我们得到了标准形式，其中 a = 2，b = -4，c = -6。 接下来确定抛物线的对称轴和顶点。使用对称轴公式 x = -b/(2a)，代入 a = 2 和 b = -4，得到 x = 1。所以对称轴是直线 x = 1。将 x = 1 代入函数求顶点的 y 坐标，得到 y = -8，所以顶点坐标是 (1, -8)。 现在我们逐一分析各个选项。选项A说图像开口向下，这是错误的，因为二次项系数 a = 2 大于 0，所以抛物线开口向上。选项B说当 x 大于 1 时函数递减，这也是错误的，因为 x 大于 1 时在对称轴右侧，函数应该递增。选项C说当 x 小于 1 时函数递减，这是正确的，因为 x 小于 1 时在对称轴左侧，函数确实递减。选项D说对称轴是 x = -1，这是错误的，我们已经计算出对称轴是 x = 1。所以正确答案是C。 让我们总结一下各个选项的分析结果。选项A错误，因为二次项系数为正，抛物线开口向上。选项B错误，当 x 大于 1 时函数是递增的，不是递减的。选项D错误，对称轴是 x = 1，不是 x = -1。只有选项C正确，当 x 小于 1 时，函数确实是递减的。因此正确答案是C。