视频字幕
函数单调性是函数的重要性质，描述了函数值随自变量变化的规律。当自变量增大时，如果函数值也增大，我们称函数单调递增；如果函数值减小，则称函数单调递减。图中蓝色曲线展示了单调递增函数，红色曲线展示了单调递减函数。
单调性有严格的数学定义。对于单调递增函数，在区间I内任取两点x1和x2，如果x1小于x2，那么f(x1)小于等于f(x2)。严格单调递增要求f(x1)严格小于f(x2)。单调递减则相反，x1小于x2时，f(x1)大于等于f(x2)。图中展示了一个单调递增函数的例子。
判断函数单调性有两种主要方法。定义法是直接根据定义，任取区间内两点x1小于x2，比较函数值大小。导数法更为便捷，对于可导函数，当导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。图中展示了函数f(x)等于x的三次方减3x及其导数，可以看出函数在负无穷到负1和1到正无穷区间单调递增，在负1到1区间单调递减。
函数单调性在数学中有广泛应用。首先可以用来求函数最值，在单调区间内，最值通常在区间端点取得。其次可以解不等式，利用函数的单调性比较函数值大小。还可以用来证明不等式，通过构造合适的单调函数。图中展示了一个二次函数，在x等于1处取得最大值，左侧单调递增，右侧单调递减。
让我们总结函数单调性的要点。函数单调性描述了函数值随自变量的变化规律，可以用定义法和导数法来判断，在求最值、解不等式和证明中都有重要应用。现在来看一个练习题：判断函数f(x)等于2x的三次方减6x的平方加6x减1在区间0到2上的单调性。求导得f'(x)等于6(x-1)的平方，由于导数恒大于等于零，所以函数在该区间上单调递增。