2 设 𝑏, 𝑐 ∈ R，定义 𝑇 : P (R) → R2 为： 𝑇 𝑝= 3𝑝(4) + 5𝑝 ′ (6) + 𝑏 𝑝(1) 𝑝(2), ˆ2 −1 𝑥3 𝑝(𝑥) d𝑥 + 𝑐 sin 𝑝(0)．

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我们来分析一个从多项式空间到二维实数空间的变换。给定变换T，它包含多项式求值、求导、积分和三角函数运算。我们需要确定参数b和c的什么条件下，这个变换是线性变换。线性变换必须同时满足加性和齐次性两个条件。 现在检查加性条件。计算T作用于两个多项式之和时，第一分量中的乘积项会展开为四项，而T(p1)加T(p2)只有两项，除非b等于零，否则不相等。第二分量中，正弦函数作用于和不等于正弦函数值的和，除非c等于零。因此加性条件要求b和c都为零。 我们用具体例子验证b必须为零。取p1等于x，p2等于常数1。计算得p1在1处值为1，在2处值为2；p2在1和2处值都为1。代入加性条件的第一分量，左边得到6b，右边得到3b。要使等式成立，必须有3b等于零，因此b等于零。 现在验证c必须为零。取两个常数多项式p1和p2都等于π/2。计算得p1和p2在0处的值都是π/2。代入加性条件的第二分量，左边是c乘以sin(π)等于0，右边是2c乘以sin(π/2)等于2c。要使等式成立，必须有0等于2c，因此c等于零。 通过验证加性和齐次性条件，我们得出结论：变换T是线性变换当且仅当b等于0且c等于0。此时变换简化为只包含线性运算：多项式求值、求导和积分，不再包含非线性的乘积项和正弦函数项。这就是我们的最终答案。