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线性映射的向量空间是线性代数中的重要概念。给定两个向量空间V和W，从V到W的所有线性映射构成的集合，记作L(V,W)，在适当定义运算后，本身也构成一个向量空间。
线性映射的加法运算是构成向量空间的基础。对于任意两个从V到W的线性映射T₁和T₂，它们的和T₁加T₂定义为一个新的映射，对于V中的任意向量v，新映射的作用结果等于T₁作用于v的结果加上T₂作用于v的结果。
标量乘法是线性映射向量空间的另一个基本运算。对于线性映射T和标量c，标量乘法cT定义为一个新的映射，对于任意向量v，新映射的作用结果等于标量c乘以T作用于v的结果。这个运算保持了线性性质，使得线性映射的集合在标量乘法下封闭。
要证明L(V,W)构成向量空间，需要验证八条向量空间公理。其中包括加法的结合律和交换律，零映射的存在性作为加法单位元，每个映射都有对应的负映射作为加法逆元，以及标量乘法的各种性质。这些公理的验证确保了线性映射的集合在定义的运算下确实构成一个向量空间。
在有限维情况下，线性映射向量空间的维度有明确的计算公式。如果V是n维向量空间，W是m维向量空间，那么L(V,W)的维度等于n乘以m。这是因为每个从V到W的线性映射都可以唯一地用一个m行n列的矩阵来表示，而这样的矩阵总共有mn个独立的元素。