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极限是微积分中最基础的概念之一。当我们说一个函数在某点的极限时，我们关注的是当输入值无限接近这个点时，函数值会趋向于哪个数值。比如这个函数，当x接近2时，函数值接近4，所以我们说这个函数在x等于2处的极限是4。
为了判断极限是否存在，我们需要检查左极限和右极限。左极限是从左边趋近目标点时函数的趋势，右极限是从右边趋近时的趋势。在这个例子中，当x从左边趋近2时，函数值趋近于2；当x从右边趋近2时，函数值趋近于1。由于左极限不等于右极限，所以在x等于2处极限不存在。
极限的严格数学定义使用epsilon-delta语言。当我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，意思是对于任意小的正数epsilon，都存在一个正数delta，使得当x在a的delta邻域内时，f(x)就在L的epsilon邻域内。这个定义精确地描述了"无限接近"的概念。
让我们看看几种常见的极限类型。第一个是著名的正弦函数极限，当x趋近于0时，sin x除以x的极限等于1。第二个是当x趋近于无穷大时，1除以x的极限等于0。第三个展示了单侧极限，当x从正方向趋近于0时，1除以x趋向正无穷。还有常数函数和连续函数的极限，它们的极限值分别是常数本身和函数在该点的值。
极限是整个微积分的基础。导数的定义就是一个极限过程：当h趋近于0时，函数增量与自变量增量的比值的极限就是导数，它表示函数在某点的瞬时变化率。积分也是通过极限定义的，是无穷多个无穷小矩形面积的极限。连续性也用极限来定义。可以说，没有极限概念，就没有现代微积分学。