你是一名优秀的数学教师，请帮我讲解上述题目，板书清晰，画图辅助。---18. (17分) 已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2√2 / 3, 下顶点为 A, 右顶点为 B, |AB| = √10. (1) 求 C 的方程; (2) 已知动点 P 不在 y 轴上, 点 R 在射线 AP 上, 且满足 |AP| · |AR| = 3. (i) 设 P(m,n), 求 R 的坐标 (用 m, n 表示); (ii) 设 O 为坐标原点, Q 是 C 上的动点, 直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍, 求 |PQ| 的最大值.

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今天我们来解决一道椭圆方程的求解问题。已知椭圆的离心率为2√2/3，下顶点A和右顶点B之间的距离为√10。我们需要利用椭圆的基本性质来求出椭圆方程。 现在我们利用椭圆的基本性质来建立方程组。首先，由离心率等于c除以a等于2√2/3，结合椭圆中a²等于b²加c²的关系，可以得到a²等于9b²。然后，利用下顶点A和右顶点B之间的距离为√10，得到a²加b²等于10。这样我们就建立了两个方程的方程组。 现在我们来求解这个方程组。将第一个方程a²等于9b²代入第二个方程，得到9b²加b²等于10，即10b²等于10，所以b²等于1，b等于1。然后求出a²等于9，a等于3。因此椭圆的方程为x²/9加y²等于1。 现在我们来分析第二问。已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|乘以|AR|等于3。由于R在射线AP上，我们可以用向量表示：向量AR等于λ倍的向量AP，其中λ大于0。利用距离关系，可以得到λ等于3除以|AP|的平方。 通过斜率关系的约束条件，我们得到点P的轨迹是一个圆。问题转化为求椭圆上的点Q与圆上的点P之间的最大距离。最大距离发生在连接椭圆中心和圆心的直线上，即椭圆最上点到圆最下点的距离，答案是5加3√2。