你是个风趣和专业的数学教师，解法非常的简短且速度，讲解十分的清晰，有必要的时候会画图辅助理解---**Problem** Points A and B lie on the graph of y = log₂ x. The midpoint of AB is (6, 2). What is the positive difference between the x-coordinates of A and B? **(A) 2√11 (B) 4√3 (C) 8 (D) 4√5 (E) 9** **Solution** Let A(6 + m, 2 + n) and B(6 - m, 2 - n), since (6, 2) is their midpoint. Thus, we must find 2m. We find two equations due to A, B both lying on the function y = log₂ x. The two equations are then log₂(6 + m) = 2 + n and log₂(6 - m) = 2 - n. Now add these two equations to obtain log₂(6 + m) + log₂(6 - m) = 4. By logarithm rules, we get log₂((6 + m)(6 - m)) = 4. By raising 2 to the power of both sides, we obtain (6 + m)(6 - m) = 16. We then get 36 - m² = 16 → m² = 20 → m = 2√5 . Since we're looking for 2m, we obtain 2 * 2√5 = (D) 4√5 ~amcrunner (yay, my first AMC solution)

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嘿同学们！今天我们来解决一个有趣的对数函数问题。题目告诉我们，点A和B都在y等于log₂ x的图像上，它们的中点是(6, 2)。我们需要找出A、B两点x坐标的正差值。这是一个典型的中点问题，让我们用巧妙的方法来解决它！ 现在我们使用一个非常巧妙的设点方法！既然中点是(6, 2)，我们可以设A点的坐标为(6+m, 2+n)，B点的坐标为(6-m, 2-n)。这样设置的好处是什么呢？中点公式自动满足了！因为A和B的x坐标平均值是(6+m+6-m)除以2等于6，y坐标平均值是(2+n+2-n)除以2等于2。这种对称设点法让我们的计算变得非常简洁！ 现在我们来建立方程组！因为A和B都在y等于log₂ x的图像上，所以它们的坐标必须满足这个函数关系。对于A点，我们有log₂(6+m)等于2+n；对于B点，我们有log₂(6-m)等于2-n。接下来是关键步骤：将这两个方程相加！左边得到log₂(6+m)加上log₂(6-m)，右边得到4。利用对数的加法性质，左边可以写成log₂乘积的形式。再用平方差公式，最终得到log₂(36-m²)等于4。 现在我们来求解m的值！从log₂(36-m²)等于4开始，根据对数的定义，这意味着2的4次方等于36-m²。2的4次方等于16，所以我们得到36-m²等于16。移项得到m²等于36减16，也就是20。开平方根，m等于正负2√5。最后，我们要求的是A、B两点x坐标的正差值，也就是|2m|的绝对值。代入m的值，得到4√5。所以答案是选项D，4√5！ 让我们总结一下这道题的解题思路！首先，我们使用了巧妙的设点方法，利用中点的对称性简化计算。然后建立方程组，将A、B两点代入对数函数。接着使用消元技巧，将两个方程相加消去变量n。利用对数的加法性质和平方差公式，将问题转化为一元二次方程。最后通过代数运算得到答案4√5。这种方法体现了数学的美妙：通过巧妙的设点和对称性，复杂问题变得简单明了！