请帮我讲解这道题---18. (17分) 已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2√2 / 3, 下顶点为 A, 右顶点为 B, |AB| = √10. (1) 求 C 的方程; (2) 已知动点 P 不在 y 轴上, 点 R 在射线 AP 上, 且满足 |AP| · |AR| = 3. (i) 设 P(m,n), 求 R 的坐标 (用 m, n 表示); (ii) 设 O 为坐标原点, Q 是 C 上的动点, 直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍, 求 |PQ| 的最大值.

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这是一道关于椭圆方程的题目。已知椭圆的离心率为2√2/3，下顶点A和右顶点B之间的距离为√10。我们需要利用椭圆的基本性质来求解椭圆方程。椭圆的下顶点A坐标为(0,-b)，右顶点B坐标为(a,0)。 现在我们利用椭圆的基本性质来建立方程组。首先，离心率e等于c除以a，等于2√2/3。其次，AB的距离平方等于a²+b²等于10。椭圆中a、b、c满足关系a²=b²+c²。将c的表达式代入，可以得到b²=a²/9的关系。 现在我们来求解椭圆的具体参数。将b²等于a²/9代入a²+b²=10，得到10a²/9=10，解得a²=9，所以a=3。进而求得b²=1，b=1。验证a大于b成立。因此椭圆C的方程为x²/9+y²=1。 现在我们来解决第二问的第一部分：求点R的坐标。已知点P坐标为(m,n)，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|=3。由于R在射线AP上，向量AR等于λ倍的向量AP。利用条件|AP|·|AR|=3，可以求出λ的值，进而得到R的坐标表达式。 最后我们求解|PQ|的最大值。根据直线OR的斜率是直线OP斜率的3倍这个条件，经过计算可得到约束条件m²+(n+4)²=18。这表明点P在以(0,-4)为圆心、半径为3√2的圆上。点Q在椭圆上。两者距离的最大值出现在连接圆心和椭圆中心的直线上，最大值为5+3√2。