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这是一个关于矩形折叠的几何问题。我们有矩形ABCD，其中AB等于1，AD等于2。点E在边AD上，点F在边CD上，且AE小于ED。当我们沿着EF折叠时，点D落在BC边上的点G处。接着将三角形ABE沿BE折叠，点A落在线段EG上的点H处。我们需要求出ED的长度。
为了解决这个问题，我们首先建立坐标系。以点D为原点，建立直角坐标系。那么各点的坐标为：D在原点(0,0)，C在(1,0)，A在(0,2)，B在(1,2)。设ED的长为x，则点E的坐标为(0,x)。由于题目条件AE小于ED，即2减x小于x，解得x大于1。又因为E在AD边上，所以x的取值范围是1小于x小于2。
现在我们分析折叠的性质。第一次折叠是沿着EF线折叠，使得点D落在BC边上的点G处。根据折叠的性质，对应点到折叠线的距离相等，所以ED等于EG，都等于x。设点G在BC边上的坐标为(1,y_G)。利用距离公式，EG的平方等于1加上(y_G减x)的平方。由于ED等于EG等于x，我们得到x的平方等于1加上(y_G减x)的平方，从而得出(y_G减x)的平方等于x的平方减1。
接下来我们建立方程组求解。第二次折叠是将三角形ABE沿BE折叠，使得点A落在线段EG上的点H处。根据折叠性质，AB等于HB等于1，AE等于HE等于2减x。由于点H在直线EG上，且角BHE等于90度，我们可以利用垂直条件建立方程。经过复杂的代数运算，我们得到一个三次方程：3x的三次方减5x的平方减15x加25等于0。通过因式分解，得到(3x减5)乘以(x的平方减5)等于0。在区间(1,2)内，唯一的解是x等于五分之三。
最后我们验证答案。当x等于五分之三时，AE等于2减五分之三，即三分之一；ED等于五分之三。确实满足题目条件AE小于ED，即三分之一小于五分之三。将x等于五分之三代入我们建立的方程组，可以验证所有条件都成立。因此，ED的长度为五分之三。这就是我们这道矩形折叠问题的最终答案。