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余弦相似度是一种重要的相似性度量方法。它用来衡量两个非零向量在多维空间中的方向是否一致。与欧几里得距离不同，余弦相似度不关心向量的长度，只关注向量之间的夹角。
余弦相似度的计算公式是：相似度等于两个向量点积除以两个向量长度的乘积。对于向量A(3,2)和向量B(2,3)，点积等于3乘以2加上2乘以3等于12。向量A的长度是根号13，向量B的长度也是根号13。
余弦相似度的取值范围是负1到正1之间。当两个向量方向完全相同时，余弦值为1；当两个向量正交即垂直时，余弦值为0；当两个向量方向完全相反时，余弦值为负1。在实际应用如文本分析中，由于向量分量通常非负，余弦相似度的范围通常是0到1。
让我们通过一个具体实例来计算余弦相似度。对于向量A(3,2)和向量B(2,3)，首先计算点积：3乘以2加上2乘以3等于12。然后计算向量长度：向量A和向量B的长度都是根号13。最后计算余弦相似度：12除以13约等于0.923，表示这两个向量方向非常相似。
余弦相似度在多个领域都有重要应用。在文本分析中，它用于计算文档相似度和信息检索。在推荐系统中，通过计算用户或物品之间的相似度来进行个性化推荐。在机器学习领域，它帮助识别特征相似性和进行数据挖掘。在图像处理中，余弦相似度用于图像匹配和特征比较。这些应用充分体现了余弦相似度作为相似性度量工具的重要价值。