用几何动图视频的讲解方式，帮我用最简单的方法解除答案---阿氏圆 一、学习框 1. 如图，四边形 ABCD 为边长为 4 的正方形，⊙B 的半径为 2，P 是⊙B 上一动点，则 PD + (1/2)PC 的最小值为 ______； √2 PD + 4PC 的最小值为 ______ . Chart Description: - Type: Geometric figure. - Elements: - A square labeled ABCD. Vertex B is at the bottom left, C is at the bottom right, D is at the top right, and A is at the top left. The side length of the square is given as 4. - A circle with center B and radius 2. The circle is drawn with its center at vertex B. - A point P located on the circumference of the circle. - Lines connecting point P to vertices D and C of the square are drawn and labeled as PD and PC.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

这是一个经典的阿氏圆问题。我们有一个边长为4的正方形ABCD，以B为圆心、半径为2的圆，P是圆上的动点。我们需要求出PD加上二分之一PC的最小值，以及根号2倍PD加上4倍PC的最小值。这类问题的关键是利用阿氏圆的几何变换思想。 阿氏圆的基本思想是处理形如kPA加PB的最值问题。对于我们的问题，PD加上二分之一PC，以及根号2倍PD加上4倍PC，都属于这类问题。关键是通过构造阿氏圆，将问题转化为几何最值问题。当P在圆上运动时，我们需要找到使这些表达式最小的位置。 现在我们来求解第一个问题：PD加上二分之一PC的最小值。关键是构造辅助点C撇，使得BC撇等于二分之一倍的BC，即BC撇等于2。这样原问题就转化为求PD加上PC撇的最小值。根据几何原理，当D、P、C撇三点共线时，PD加上PC撇取最小值，等于DC撇的长度。通过计算，DC撇等于2倍根号5。 现在求解第二个问题：根号2倍PD加上4倍PC的最小值。这里需要构造阿氏圆。以D为圆心，半径为2倍根号2的圆。将根号2倍PD转化为到阿氏圆上某点的距离。问题转化为求到阿氏圆的距离加上4倍PC的最小值。通过几何分析，当P、D、C三点的连线与阿氏圆相切时取最小值，结果为4倍根号5减去2倍根号2。 总结一下阿氏圆问题的解答。第一个问题PD加上二分之一PC的最小值是2倍根号5，第二个问题根号2倍PD加上4倍PC的最小值是4倍根号5减去2倍根号2。阿氏圆方法的核心是通过几何变换简化问题，利用相似性质构造辅助图形，最终转化为直线距离来求最值。这种方法在解决复杂的几何最值问题中非常有效。