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三角函数是数学中的重要概念，用于描述直角三角形中角度与边长的关系。在直角三角形中，我们定义角θ，以及相对于这个角的三条边：对边b、邻边a和斜边c。基本的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们为我们提供了分析几何图形和解决实际问题的强大工具。
现在我们来看三角函数的具体定义。正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。这些比值关系是三角函数的核心，它们帮助我们建立角度与边长之间的数学联系。通过这些定义，我们可以计算任意锐角的三角函数值。
单位圆为我们提供了理解三角函数的另一种方式。单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆。当我们从x轴正方向开始，逆时针旋转角度θ时，与单位圆的交点坐标为(cos θ, sin θ)。这意味着在单位圆中，余弦值就是点的x坐标，正弦值就是点的y坐标。这种定义方式将三角函数扩展到了所有角度。
三角函数的图像直观地展示了它们的性质。正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π，值域都在负1到正1之间。正弦函数从原点开始，呈现波浪形曲线；余弦函数从1开始，与正弦函数形状相同但存在π/2的相位差。这些图像帮助我们理解三角函数的周期性和连续性特征。
三角恒等式是三角函数的重要性质。最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1，这直接来源于勾股定理。还有和角公式，帮助我们计算两角之和的三角函数值。这些恒等式在物理学的波动和振动分析、工程学的信号处理、以及导航测量等领域都有广泛应用，是连接纯数学与实际应用的重要桥梁。