帮我解截图里面的题目---Extraction Content: **Question Stem:** 在矩形 ABCD 中, AB=4, AD=3, M, N 分别是线段 BC, CD 上的点, 且 $\frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CN^2} = 1$, 若 $\vec{AC} = x \vec{AM} + y \vec{AN}$, 则 $x+y$ 的最小值是_______. **Mathematical Formulas/Equations:** AB = 4 AD = 3 $\frac{1}{CM^2} + \frac{1}{CN^2} = 1$ $\vec{AC} = x \vec{AM} + y \vec{AN}$ **Other Relevant Text:** 在矩形 ABCD 中, M, N 分别是线段 BC, CD 上的点. 则 $x+y$ 的最小值是_______.

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这是一道关于矩形中向量线性组合的优化问题。在矩形ABCD中，AB等于4，AD等于3。M和N分别是线段BC和CD上的点，满足约束条件：CM的平方分之一加上CN的平方分之一等于1。我们需要求解向量AC等于x倍向量AM加上y倍向量AN中，x加y的最小值。 为了解决这个问题，我们首先建立坐标系。设点A为原点，坐标为(0,0)，那么B点坐标为(4,0)，D点坐标为(0,3)，C点坐标为(4,3)。由于M在线段BC上，可以表示为M等于(4,m)，其中m的取值范围是0到3。同样，N在线段CD上，可以表示为N等于(n,3)，其中n的取值范围是0到4。这样我们就得到了向量AC等于(4,3)，向量AM等于(4,m)，向量AN等于(n,3)。 接下来建立方程组。根据向量方程AC等于x倍AM加上y倍AN，我们有(4,3)等于x乘以(4,m)加上y乘以(n,3)，展开得到(4,3)等于(4x加ny，mx加3y)。因此得到方程组：4x加ny等于4，mx加3y等于3。同时，由约束条件CM的平方分之一加上CN的平方分之一等于1，其中CM等于3减m，CN等于4减n，所以约束条件变为(3减m)的平方分之一加上(4减n)的平方分之一等于1。 现在进行变量替换求解。令u等于3减m，v等于4减n，约束条件变为u的平方分之一加上v的平方分之一等于1。进一步引入新变量a等于u分之一，b等于v分之一，约束条件变为a的平方加上b的平方等于1。解方程组可以得到x等于3v除以4u加3v减uv，y等于4u除以4u加3v减uv。用新变量表示并化简，得到x加y等于3a加4b除以3a加4b减1。设T等于3a加4b，则x加y等于T除以T减1，也就是1加上T减1分之一。 最后求最值。要使x加y最小，需要使T最大。在约束条件a的平方加b的平方等于1下，T等于3a加4b可以写成5倍cos(θ减α)的形式，其中α等于arcsin五分之四。T的最大值为5，当a等于五分之三，b等于五分之四时取到。因此x加y的最小值等于1加上5减1分之一，等于1加上四分之一，等于四分之五。所以答案是四分之五。