视频字幕
微积分是数学中研究变化和累积的重要分支。它包含两个核心概念：微分和积分。微分研究函数的变化率，也就是导数，表示曲线在某点的斜率。积分研究累积量，比如曲线下的面积。这两个概念互为逆运算，构成了微积分的基础。
微分计算的核心是掌握基本求导公式。常数的导数为零，幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n减1次方。指数函数e的x次方的导数是它本身。自然对数函数的导数是x分之一。正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。以x平方为例，它的导数是2x，表示在任意点x处的斜率。
积分计算是微分的逆运算，用于求原函数和计算面积。基本积分公式包括：常数的积分是常数乘以x加积分常数C，幂函数的积分是指数加一后除以新指数。指数函数e的x次方的积分是它本身。x分之一的积分是自然对数的绝对值。正弦和余弦函数的积分分别是负余弦和正弦。以x平方为例，它的积分是x立方除以3，表示曲线下的面积。
微积分计算中有重要的求导法则和积分技巧。乘积法则用于两个函数乘积的求导，商法则用于分式函数的求导，链式法则处理复合函数。在积分方面，换元法通过变量替换简化积分，分部积分法处理两个函数乘积的积分。以x乘以正弦x为例，使用乘积法则，结果是正弦x加上x乘以余弦x。掌握这些法则是熟练计算微积分的关键。
微积分基本定理是连接微分和积分的桥梁。它表明定积分等于原函数在上限和下限处的差值。这个定理使我们能够通过求原函数来计算定积分，而不需要用极限来定义。微积分在各个领域都有广泛应用：物理学中计算速度和位移，几何学中求面积和体积，工程学中解决优化问题，经济学中进行边际分析。掌握微积分的计算方法，就能解决这些实际问题。