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圆锥曲线的弦长问题是解析几何中的重要内容。当一条直线与椭圆、双曲线或抛物线相交时，会形成一条弦。我们需要求出这条弦的长度。图中展示了一条直线与椭圆的交点A和B，线段AB就是我们要求长度的弦。
解决圆锥曲线弦长问题有五个基本步骤。首先联立直线方程与圆锥曲线方程，消去一个变量得到一元二次方程。然后计算判别式，确保有两个交点。接着应用韦达定理求出两根之和与两根之积。再利用公式计算两根差的绝对值。最后使用弦长公式，根据直线斜率k计算弦长。
现在我们通过一个具体例题来演示椭圆弦长的计算过程。题目是求直线y等于x加1与椭圆x平方除以4加y平方等于1的交点弦长。首先联立方程组，将直线方程代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程。图中显示了直线与椭圆的两个交点A和B。
现在我们详细计算这个例题。将直线方程代入椭圆方程后，展开得到x平方除以4加x平方加2x加1等于1。整理后得到5x平方除以4加2x等于0，即5x平方加8x等于0。因式分解得x乘以5x加8等于0，所以x1等于0，x2等于负五分之八。对应的y坐标分别为1和负五分之三。最后使用弦长公式，k等于1，计算得弦长为五分之八倍根号2。
总结一下，圆锥曲线弦长公式适用于椭圆、双曲线和抛物线。公式为弦长等于根号1加k平方乘以两个交点横坐标差的绝对值。解题关键是联立方程、利用韦达定理和应用弦长公式。在我们的例题中，直线与椭圆的交点弦长为五分之八倍根号2。这个方法是解析几何中处理弦长问题的标准方法。