一. 填空题 (每题4分, 共20分.) (1). 试作一函数 f(x,y), 使当 x -> +inf, y -> +inf 时, i. 两个累次极限存在而重极限不存在: ________; ii. 重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在: ________. (2). 设二元函数 z = f(x,y) = x^2y + y^2 lnx (x > 0), 则 i. 函数 f(x,y) 的梯度函数 grad(f) = ________; ii. 函数 f(x,y) 在点 P(1,2) 处, 沿向量 $\vec{v}$ = (3,4) 方向的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} |_{(1,2)}$ = ________. (3). 由方程 sinx + lny - xy^3 = 0 在 (0,1) 附近确定隐函数 y = f(x), 则 f'(0) = ________. (4). 交换累次积分 $\int_0^1 \int_x^{\sqrt{x}} f(x,y) dy dx$ 的积分顺序, 写出交换后的表达式 ________. (5). 狄利克雷积分 (Dirichlet integral) $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ = ________, 利用分部积分计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(yx)}{x^2} dx$ = ________. 二. 计算题 (每题5分, 共20分) (1). 已知平面曲线 y = f(x) 由方程组 $\begin{cases} x^2 + y^2 + t^2 = a^2 \\ y^2 + t^2 = at \end{cases}$ 确定 (其中 a 为非零常数), 求该曲线在 x = a/2 处的切线方程及法线方程. (2). 设 w = w(x,y) 的所有二阶偏导数都连续, 且满足: w_{xx}'' - 2w_{yy}'' = 0, w(x, 4x) = x^3, w_x'(x, 4x) = 3x^2. 计算 w_{xx}''(x, 4x), w_{xy}''(x, 4x), w_{yy}''(x, 4x). (3). 设函数 F(x,y) 由参数积分定义为 $F(x,y) = \int_0^{x^2y} (t^2 \sin(xy) + \frac{\cos t}{x+y}) f(t) dt,$ 其中 f(t) 为连续可导函数, 且 f(0) = 1, f'(0) = -2. 求混合偏导数 $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} |_{(1,2)}$. (4). 计算三重积分 $I = \iiint_\Omega \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} dV,$ 其中积分区域 $\Omega$ 由以下曲面共同围成: i. 球面 x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 (外球面, 半径 2a); ii. 球面 x^2 + y^2 + (z - a)^2 = a^2 (内球面, 圆心在 (0,0,a), 半径 a); iii. 平面 z = 0 (xy 平面, 取下半空间部分). 三. (10分) 证明函数 $f(x,y) = \begin{cases} (x^2+y^2) \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases}$ 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连续, 而 f 在点 (0,0) 可微. 四. (10分) 设 D = [0,1] x [0,1], $f(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{当} (x,y) \text{为 D 中有理点, 且} q_x = q_y \text{时,} \\ 0, & \text{当} (x,y) \text{为 D 中其他点时,} \end{cases}$ 其中 $q_x$ 表示有理数 x 化成既约分数后的分母. 证明 f(x,y) 在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在. 五. (15分) 考虑方程组 $\begin{cases} x + y + z = 0, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \end{cases}$ (a) 证明在点 $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ 附近存在隐函数 y = y(x) 和 z = z(x); (b) 求曲线在该点处的切线方程与法平面方程. 六. (15分) 已知函数 u(x,y) 的全微分为: $du = (x^2 + 2xy - y^2) dx + (x^2 - 2xy - y^2) dy$ 且 f(0,0) = 0. (a) 求函数 u(x,y) 的表达式; (b) 确定 u(x,y) 在区域 D: x^2 + y^2 <= 1 上的最大值和最小值. 七. (10分) 计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a^2 x^2} - e^{-b^2 x^2}}{x^2} dx$ (提示: 可利用公式 $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$) 2