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泰勒展开是求解复杂极限的强大工具。基本思想是在极限点附近用多项式来近似函数，从而将复杂的函数极限转化为多项式的极限计算。这对于处理零比零或无穷比无穷等未定式极限尤其有效。
使用泰勒展开求解极限有四个基本步骤。第一步是确定展开点，选择极限趋近的点作为展开中心。第二步是对函数进行泰勒展开，保留足够多的项直到能确定最低阶非零项。第三步是将展开式代入原极限表达式并简化，约去公因子。第四步是计算简化后表达式的极限。
让我们通过一个经典例题来演示泰勒展开求极限的过程。求极限：x趋于0时，sin x减x除以e的x次方减1减x。首先确定展开点为0。然后进行泰勒展开：sin x等于x减六分之x的三次方，e的x次方等于1加x加二分之x的平方。代入原式得到负六分之x的三次方除以二分之x的平方，化简得到负三分之x，所以极限值为负三分之一。
掌握常用函数的泰勒展开式是使用泰勒展开求极限的关键。这些包括：e的x次方展开式，正弦函数展开式，余弦函数展开式，自然对数函数展开式，以及二项式展开式。这些都是在x等于0处的麦克劳林展开。记住这些基本展开式可以大大简化极限计算过程。
使用泰勒展开求极限需要注意几个要点。首先，展开项数要足够，保留到能确定最低阶非零项。其次，要选择合适的展开点，通常选择极限趋近的点。还要注意展开的有效范围，确保在收敛半径内。最后要验证结果的合理性。总的来说，泰勒展开是处理复杂未定式极限的强大工具，计算过程系统化，适用范围广泛，是求解极限的实用方法。