根据图片内容生成一个视频，万全按照图片上的内容进行讲解，不要在视频中画图---**知识点 1 二次函数的概念** [重点] 1. 二次函数: 我们把形如 $y=ax^2+bx+c$ (其中 $a,b,c$ 是常数,$a \ne 0$) 的函数叫做二次函数，称 $a$ 为二次项系数，$b$ 为一次项系数，$c$ 为常数项。[注] 2. 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的结构特征: (1) 函数表达式中等号右边是关于自变量的整式； (2) 化简后自变量的最高次数是 2； (3) 二次项系数不为 0。 概念深化 二次函数 $\begin{cases} \text{一般形式}: y=ax^2+bx+c (a,b,c \text{是常数}, a \ne 0). \\ \text{特殊形式}: \begin{cases} y=ax^2 (a \text{是常数}, a \ne 0), \\ y=ax^2+c (a \text{是常数}, a \ne 0, c \ne 0), \\ y=ax^2+bx (a,b \text{是常数}, a \ne 0, b \ne 0). \end{cases} \end{cases}$ **典例 1** (2024·杭州期中) 下列函数中, ① $y=x-2$； ② $y=\frac{3}{x}$； ③ $y=3x^2$； ④ $y=-\frac{1}{x^2}$； ⑤ $y=x^3+2x^2-1$； ⑥ $y=(x-5)^2-x^2$； ⑦ $y=x(4-x)$； ⑧ $y=ax^2+x-1$. 其中一定是二次函数的有 \_\_\_\_.(填序号) 解析: | 序号 | 分析 | 判断 | | ---- | ------------------------------------------ | ---- | | ① | 自变量 $x$ 的最高次数为 1,该函数是一次函数 | × | | ② | $\frac{3}{x}$ 是分式,不是整式.该函数是反比例函数 | × | | ③ | 符合二次函数的定义 | √ | | ④ | $-\frac{1}{x^2}$ 是分式,不是整式 | × | | ⑤ | 自变量 $x$ 的最高次数为 3,不是 2 | × | | ⑥ | $y=(x-5)^2-x^2 = -10x+25$,是一次函数 | × | | ⑦ | $y=x(4-x) = -x^2+4x$,符合二次函数的定义 | √ | | ⑧ | 当 $a=0$ 时,该函数是一次函数;当 $a \ne 0$ 时,该函数是二次函数 | × | 答案: ③⑦ **知识点 2 根据实际问题构建二次函数模型** [难点] 根据实际问题构建二次函数的一般步骤 * 审清题意: 找出实际问题中的已知量(常量)、未知量(变量)，并分析它们之间的关系，将文字语言或图形语言转化为数学(符号)语言. * 找等量关系: 找到常量和变量之间的关系，列出等量关系式. * 列函数表达式: 设出表示变量(自变量、因变量)的字母，把等量关系式中的量用含该字母的式子替换，列出二次函数表达式，并确定自变量的取值范围. 注意: 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围必须使实际问题有意义. **典例 2** (杭州萧山区模拟) 已知长方形的长为 10 cm, 宽为 6 cm, 它的各边都减少 $x$ cm, 得到的新长方形的面积为 $y$ cm$^2$, 则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是 \_\_\_\_.( ) A. $y = 32 - 4x\ (0 < x < 6)$ B. $y = 32 - 4x\ (0 \le x \le 6)$ C. $y = (10 - x)(6 - x)\ (0 < x < 6)$ D. $y = (10 - x)(6 - x)\ (0 \le x \le 6)$ 解析: ∵长方形的各边都减少 $x$ cm, ∴得到的新长方形的长为 $(10-x)$ cm, 宽为 $(6-x)$ cm, ∴ $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是 $y=(10-x)(6-x)(0 < x < 6)$. 答案: C **题型 1 二次函数概念的应用** 1. 根据二次函数的概念求字母的值 (易错) ★★★ **典例 3** 已知函数 $y=-(m+2)x^{m^2-2}$ (m为常数). (1) 当 $m$ 取何值时，$y$ 是关于 $x$ 的一次函数? (2) 当 $m$ 取何值时，$y$ 是关于 $x$ 的二次函数? 并求出此时纵坐标为-8的点的坐标. 解析: (1) ∵函数 $y=-(m+2)x^{m^2-2}$ 是关于 $x$ 的一次函数, ∴ $\begin{cases} m^2-2=1 \\ m+2 \ne 0 \end{cases}$, 解得 $m = \pm \sqrt{3}$. ∴当 $m=\pm \sqrt{3}$ 时,$y$ 是关于 $x$ 的一次函数. (2) ∵函数 $y=-(m+2)x^{m^2-2}$ 是关于 $x$ 的二次函数, ∴ $\begin{cases} m^2-2=2 \\ m+2 \ne 0 \end{cases}$, 解得 $m=2$. ∴当 $m=2$ 时,$y$ 是关于 $x$ 的二次函数,此时 $y=-4x^2$. 当 $y=-8$ 时, $-8=-4x^2$, 解得 $x=\pm \sqrt{2}$. ∴纵坐标为-8的点的坐标是 $(\sqrt{2},-8)$ 或 $(-\sqrt{2},-8)$. 2. 二次函数的一般形式 ★★★ **典例 4** 若二次函数 $y=(2x-1)^2+1$ 的二次项系数为 $a$, 一次项系数为 $b$, 常数项为 $c$, 则 $b^2-4ac$ \_\_\_\_ 0.(填“>”“<”或“=”) 思路引导: 化为一般式 $\rightarrow$ 得 $a,b,c$ 的值 $\rightarrow$ 代入 $b^2-4ac$ 计算 $\rightarrow$ 与 0 作比较 解析: ∵ $y=(2x-1)^2+1=4x^2-4x+2$, ∴ $a=4, b=-4, c=2$. ∴ $b^2-4ac=(-4)^2-4\times 4 \times 2 = 16-32 = -16 < 0$. 答案: < **题型 2 求二次函数的表达式** 1. 根据实际问题确定二次函数表达式 ★★★ **典例 5** 共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放单车 $a$ 辆,计划第三个月投放单车 $y$ 辆,若第一个月的增长率是 $x$, 第三个月的增长率是第二个月的两倍,那么 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是 \_\_\_\_.( ) A. $y=a(1+x)(1+2x)$ B. $y=a(1+x)^2$ C. $y=2a(1+x)^2$ D. $y=2x^2+a 解析: 由第二个的增长率是 $x$, 得第三个月的增长率是 $2x$. 根据题意, 得第三个月投放单车 $a(1+x)(1+2x)$ 辆. ∴ $y=a(1+x)(1+2x)$. 答案: A **典例 6** [新课标 真实情境] 某商品的进价为每件 40 元. 若售价为每 件 50 元, 则每月可卖出 210 件; 若售价超过 50 元但不超过 80 元, 每件商品的售价每上涨 1 元, 则每月少卖 1 件; 若售价超过 80 元后,再涨价, 则每上涨 1 元每月少卖 3 件. 设每件商品的售价为 $x$ 元, 每月的销售量为 $y$ 件. (注意分情况列表达式) (1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式; (2) 设每月的销售利润为 $W$ 元, 请写出 $W$ 关于 $x$ 的函数表达式. 思路引导: 分情况 ($5080$) $\rightarrow$ 售价上涨 ($x-50$)元, 每月少卖 ($x-50$)件 / 售价上涨 ($x-80$)元, 每月少卖 [3($x-80$)+30]件 $\rightarrow$ 列 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式, 写出 $x$ 的取值范围 $\rightarrow$ 列 $W$ 关于 $x$ 的函数表达式 解析: 解: (1) 当 $x=50$ 时,$y=210$; 当 $5080$ 时, 售价在 50~80元之间上涨了 (80-50) = 30 件, 售价从 80 元上涨了 $(x-80)$ 元, 每上涨 1 元少卖 3 件, 故从 80 元开始少卖 $3(x-80)$ 件, 总共少卖 30 + 3($x-80$) 件. $y = 210 - [ (80-50) + 3(x-80) ] = 210 - [ 30 + 3x - 240 ] = 210 - 3x + 210 = 420 - 3x$. 考虑实际情况, 销售量不能为负数, 420-3x > 0 => 3x < 420 => x < 140. 故 $y=\begin{cases} 210 (x=50), \\ 260-x (50 < x \le 80), & \text{分段函数需注明各段中自变量的取值范围} \\ 420-3x (80 < x \le 140). \end{cases}$ (2) 设每月的销售利润为 $W$ 元, 销售利润 = (售价 - 进价) * 销售量 = $(x-40)y$. 当 $x=50$ 时, $W = (50-40)\times 210 = 10 \times 210 = 2100$. 当 $50 < x \le 80$ 时, $W=(x-40)(260-x)=-x^2+260x+40x-10400 = -x^2+300x-10400$. 当 $80 < x \le 140$ 时, $W=(x-40)(420-3x)=420x-3x^2-16800+120x = -3x^2+540x-16800$. 故 $W=\begin{cases} 2100 (x=50), \\ -x^2+300x-10400 (50 < x \le 80), \\ -3x^2+540x-16800 (80 < x \le 140). \end{cases}$ 2. 用待定系数法确定二次函数表达式 ★★★ **典例 7** (杭州 期末) 已知二次函数 $y=ax^2+4x+c$, 当 $x=-2$ 时, 函数值是-1; 当 $x=1$ 时, 函数值是 5, 则此二次函数的表达式为 \_\_\_\_.( ) A. $y=2x^2+4x-1$ B. $y=x^2+4x-2$ C. $y=-2x^2+4x+1$ D. $y=2x^2+4x+1$ 解析: 把 $x=-2,y=-1$ 和 $x=1,y=5$ 分别代入函数表达式,得 $\begin{cases} a(-2)^2+4(-2)+c = -1 \\ a(1)^2+4(1)+c = 5 \end{cases}$, 即 $\begin{cases} 4a-8+c = -1 \\ a+4+c = 5 \end{cases}$. 整理得 $\begin{cases} 4a+c = 7 \\ a+c = 1 \end{cases}$. 解得 $\begin{cases} a=2 \\ c=-1 \end{cases}$. 所以此二次函数的表达式为 $y=2x^2+4x-1$. 答案: A