18、（17分)设柏國 C： 十品 =1（a＞6＞0）,记 A为椭圆下端点，B为右端点， IABI= V10,且椭圆 C的离心率为 2x2 (1)求椭圆的标准方程； （2) 设点 P(m,n). ()若 P不在y轴上,设 民是射线 AP上一点，AR•1AP1=3用m,几表示 点 R的坐标; (i） 设直线 0Q的斜率为 kn，直线 OP的斜率为 62,若6=36z，M 为椭圆上一点,求PM 的最大值.

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我们来解决这道椭圆问题。已知椭圆的标准方程形式，下端点A和右端点B之间的距离为根号10，离心率为根号2除以2。我们需要利用这些条件求出椭圆的标准方程。 根据椭圆的几何性质，我们建立方程组。下端点A的坐标为(0,-b)，右端点B的坐标为(a,0)。距离|AB|等于根号(a²+b²)等于根号10，所以a²+b²=10。离心率e等于c/a等于根号2/2，结合c²=a²-b²，可得b²=a²/2。 现在我们联立方程组求解。将b²等于a²/2代入a²+b²=10，得到3a²/2=10，解得a²=20/3，b²=10/3。因此椭圆的标准方程为3x²/20+3y²/10=1。这就是我们要求的椭圆标准方程。 现在解决第二问的第一小题。已知点P(m,n)不在y轴上，点R在射线AP上，且向量AR与向量AP的数量积等于3。我们设向量AR等于λ倍向量AP，利用数量积条件求出λ，最终得到点R的坐标表达式。 最后求解PM的最大值。根据条件k1等于3k2，可以推导出点P在椭圆C'上。两个椭圆是同心椭圆，最大距离出现在过原点的直线上。通过计算得到PM的最大值为(2√5+2√15)/3。至此，这道椭圆问题全部解答完毕。