给我这个题的相关知识和过程---**Question Stem:** Let $f : \mathbb{R} \to [1, \infty)$, where $f(x) = \cosh(x)$. Which statement is true? **Options:** (a) $f$ is injective but not surjective. (b) $f$ is surjective but not injective. (c) $f$ is bijective. (d) $f$ is neither surjective nor injective.

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我们来分析双曲余弦函数的性质。题目给出函数 f(x) = cosh(x)，定义域为实数集，值域为 [1, 无穷)。我们需要判断这个函数的单射性和满射性。从图像可以看出，cosh(x) 是一个偶函数，在 x=0 处取得最小值 1，并且关于 y 轴对称。 现在我们分析函数的单射性。单射性要求对于定义域中任意两个不同的元素，它们的函数值必须不同。但是双曲余弦函数是偶函数，满足 cosh(-x) = cosh(x)。这意味着对于任意非零的 x，cosh(x) 等于 cosh(-x)，但 x 不等于 -x。例如，cosh(1) 等于 cosh(-1)，但 1 不等于 -1。因此，函数不是单射的。 现在分析满射性。满射性要求对于值域中的任意元素，在定义域中都存在对应的原像。双曲余弦函数在 x=0 处取得最小值 1，当 x 的绝对值趋向无穷时，函数值趋向无穷。因此函数的值域是 [1, 无穷)。由于这正好等于题目给定的上域 [1, 无穷)，所以函数是满射的。对于值域中的任意 y 值，都能找到对应的 x 值使得 cosh(x) = y。 通过前面的分析，我们可以得出结论。双曲余弦函数 f(x) = cosh(x) 不是单射函数，因为它是偶函数，满足 cosh(-x) = cosh(x)，存在不同的 x 值对应相同的函数值。但是它是满射函数，因为函数的值域 [1, 无穷) 正好等于给定的上域 [1, 无穷)。因此，函数 f 是满射但不单射，答案是选项 (b)。 双曲函数在数学和物理中有广泛应用。在数学领域，它们出现在微积分、微分方程和复分析中。在物理领域，双曲余弦函数描述悬链线的形状，这是电缆或链条在重力作用下的自然形状。双曲函数还在相对论和波动方程中发挥重要作用。在工程领域，它们用于结构力学分析和信号处理。掌握这些函数的性质，特别是单射性和满射性，有助于我们更好地理解和解决实际问题。