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换元法求极限是微积分中的重要技巧。当我们遇到复杂的极限表达式时，可以通过引入新的变量来简化计算。比如这个例子中，x乘以sin(1/x)当x趋于无穷时的极限，我们可以设y等于1/x来简化表达式。
换元法有五个基本步骤。首先确定换元对象，找到使表达式复杂的部分。然后建立新旧变量的关系。接着确定新变量的趋向。第四步是改写极限表达式，用新变量替换原变量。最后计算转化后的新极限。这个过程将复杂问题转化为简单问题。
现在我们通过一个具体例子来演示换元法。求x趋于无穷时，x乘以sin(1/x)的极限。首先确定换元对象是1/x。设y等于1/x。当x趋于无穷时，y趋于0。将原式改写为sin(y)除以y的极限形式。这是一个重要的标准极限，结果等于1。
换元法有多种类型。倒数换元适用于含有1/x的表达式。三角换元用于处理根式表达式。指数换元处理指数函数。根式换元简化根式表达式。复合函数换元处理复杂的复合结构。每种类型都有其特定的应用场景，选择合适的换元方式是解题的关键。
总结一下换元求极限的要点。首先要选择合适的换元对象，正确建立新旧变量的关系。准确确定新变量的趋向，完整地改写表达式。同时要熟练掌握重要的标准极限公式。注意换元要保证等价性，关注定义域的变化，并验证极限的存在性。掌握这些要点，就能熟练运用换元法求解各种复杂的极限问题。